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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Na imagem abaixo, vemos duas figuras na forma de zig-zag que foram construídas a partir de quadradinhos cujos lados medem 1 cm.
A primeira figura tem cinco quadradinhos e seu perímetro é 12 cm.
A segunda tem nove quadradinhos e seu perímetro é 20 cm.
Qual é o perímetro da figura na mesma forma de zig-zag, mas que tem 37 quadradinhos?
Problema da ONEM – 2007.
Solução
Ao observarmos bem essas duas figuras, percebemos que apenas os quadrados que estão em suas “pontas”, isto é, o quadrado que começa a figura e o quadrado que a termina, possuem cada um [tex]3[/tex] arestas que fazem parte do perímetro da figura. Todos os demais quadrados possuem apenas [tex]2[/tex] arestas que fazem parte desse perímetro.
Logo, se uma figura que segue esse padrão tiver [tex]37[/tex] quadradinhos, dois deles acrescentarão [tex]3 [/tex] cm cada ao perímetro da figura; logo, contribuirão com [tex]6 [/tex] cm.
Os [tex]35[/tex] quadradinhos restantes contribuirão com apenas [tex]2[/tex] cm cada, ou seja, acrescentarão, ao todo, [tex]35×2=70 [/tex] cm.
Por fim, concluímos que o perímetro total da figura [tex]37[/tex] quadradinhos será de [tex]\boxed{~6\text{ cm}+70\text{ cm}=76\text{ cm}^~~}.[/tex]
Mas podemos ir um pouco além dos cálculos e criar uma fórmula de recorrência para esta questão!
Ao nos atentarmos, observaremos que o processo descrito na resolução acima é representado pela seguinte expressão:
[tex]\qquad P = (Q-2) × 2 + 6[/tex],
sendo [tex]P[/tex] o perímetro da figura em centímetros e [tex]Q[/tex] é a quantidade de quadradinhos.
COM Phidias (EEEFM Maestro José Siqueira – Conceição, PB).
Equipe COM – OBMEP.