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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sabendo que a parábola determinada pela função quadrática f(x)=ax2+bx+c passa pelos pontos (−1,1),(−2,3) e (3,2), encontre a lei de formação da função e a soma de suas raízes.
Solução
Como a parábola passa pelos pontos (−1,1),(−2,3) e (3,2), então:
f(−1)=1,
f(−2)=3,
f(3)=2.
Logo,
a(−1)2+b(−1)+c=1,
a(−2)2+b(−2)+c=3,
a⋅32+3b+c=2.
Assim, podemos montar o seguinte sistema de equações:
S:{a−b+c=14a−2b+c=39a+3b+c=2.
Multiplicando a primeira equação de S por −1 e somando à segunda, obtemos 3a−b=2.
Fazendo o mesmo com a primeira e terceira equações, obtemos 8a+4b=1.
A partir das duas últimas equações obtidas acima, podemos montar o seguinte sistema:
{3a−b=28a+4b=1.
Multiplicando a primeira equação por 4 e somando à segunda, obtemos
20a=9,
ou seja,
a=920.
Substituindo o valor de a na equação 3a−b=2, obtemos
b=2720−2=−1320.
Agora, podemos substituir os valores de a e b em uma das equações do sistema S, a fim de encontrarmos o valor de c. Assim,
920−(−1320)+c=1
2220+c=1
c=1−2220
c=−110.
Logo, a lei de formação da função é f(x)=920x2−1320x−110.
Pelas Relações de Girard (relações entre coeficientes e raízes de uma equação), obtemos que a soma das raízes da função do segundo grau dada é
Soma=−ba=−−1320920Soma=139.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.