(A) Problema de Gincana: Um triângulo dividido

Problema

---

No triângulo retângulo $ABC$ mostrado abaixo, $BD = CD$.

Sabendo que $AB = 3$ e $AC = 4$, determine o valor de $CD$.

Solução 1

---

Denotemos por $x$ a medida $CD$, então $BD = x$ e, como $AC = 4$, temos $AD = AC-CD = 4-x$, conforme indicado na figura abaixo.

Aplicado o Teorema de Pitágoras ao triângulo $ABD$, temos:
$\qquad x^2 = 3^2+(4-x)^2$
$\qquad x^2 = 3^2+4^2-8x+x^2$
$\qquad 8x = 9+16$
$\qquad 8x = 25$
$\qquad x = \dfrac{25}{8} = 3,125.$
Portanto, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$CD=3,125$}\,.$

---

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

---

Primeiramente, focando no triângulo retângulo $ABD$, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para obtermos o seguinte:
$\qquad (BD)^2 = (AB)^2 + (AD)^2.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}$

Analisando o triângulo $ABC$, observamos que $\boxed{AD = AC-DC}.$
Substituindo essa igualdade em $\textcolor{#800000}{(i)}$ e desenvolvendo, ficamos com:
$\qquad (BD)^2 = (AB)^2 + (AC – DC)^2\\ \qquad (BD)^2 = (AB)^2 + (AC)^2-2 \cdot (AC) \cdot (DC) + (DC)^2.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}\\ ~~$
Como $BD = DC$, então $BD^2 = DC^2$; assim, podemos simplificar estes termos em $\textcolor{#800000}{(ii)}$:
$\qquad 0 = (AB)^2 + (AC)^2 – 2 \cdot (AC) \cdot (DC)\\ ~~$
Agora, aplicando os valores numéricos para $AB$ e $AC$, obtemos:
$\qquad 0 = 3^2 + 4^2-2 \cdot 4 \cdot (DC)\\ \qquad 0 = 9 + 16-8 \cdot (DC)\\ \qquad 0 = 25-8(DC)\\ \qquad 8(DC) = 25\\ \qquad DC = \dfrac{25}{8}.$
Assim, concluímos que o valor de $CD$ é $\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{25}{8}=3,125$}\,.$

---

Solução elaborada pelo COM Potências de Euler.