(A) Problema de Gincana: Quantas raízes?

Problema

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Supondo que as três raízes quadradas abaixo estão definidas no conjunto dos números reais, quantas soluções reais tem a equação
[tex]~\qquad \qquad \sqrt{x+2\,}+\sqrt{4–x\,}=\sqrt{8+4x\,}\,?[/tex]

Solução

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Observe a seguinte sequência de equações equivalentes:
[tex]\qquad \sqrt{x+2}+\sqrt{4–x}=\sqrt{8+4x}[/tex]
[tex]\qquad \sqrt{x+2}+\sqrt{4–x}=\sqrt{4(2+x)}[/tex]
[tex]\qquad \sqrt{x+2}+\sqrt{4–x}=2\sqrt{x+2}[/tex]
[tex]\qquad \sqrt{4–x}=\sqrt{x+2}.[/tex]

Elevando ambos os membros da última igualdade ao quadrado, temos
[tex]\qquad 4–x=x+2[/tex]
[tex]\qquad 2x=2[/tex]
[tex]\qquad x=1.[/tex]

Vamos verificar que [tex]x=1[/tex], de fato, é solução da equação. Substituindo o valor na equação, segue que:
[tex]\qquad \sqrt{1+2}+\sqrt{4–1}=\sqrt{8+4}.[/tex]
[tex]\qquad \sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{12}.[/tex]
[tex]\qquad 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}.[/tex]

Logo, [tex]x = 1[/tex] e a equação tem apenas uma solução.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.