(A) Problema: Cubo truncado

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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Um cubo é seccionado nos pontos médios $A, B$ e $C$ de três arestas que concorrem em um vértice como mostrado na figura $1$ .

Tal procedimento é feito para todos os demais vértices do cubo e obtém-se, então, o sólido da figura $2$ : o Hexaedro (Cubo) Truncado. O novo sólido possui $x$ vértices, $y$ arestas e $z$ faces. Calcular $x+y+z$ .

Lembretes e notações

Relação de Euler:
Seja $V$ o número de vértices, $F$ o número de faces e $A$ o número de arestas de um poliedro convexo. Então: $V+F=A+2$ .

Solução

O hexaedro truncado possui $6$ faces quadradas e $8$ faces triangulares. Dessa forma, a quantidade total de faces é
$\qquad F=z=6+8=14$ .
Por outro lado, cada aresta de cada face pertence a duas faces. Então, podemos escrever:
$\qquad 6 \cdot 4+8 \cdot 3=2 \cdot A \\ \qquad A=24=y.$
Assim, pela Relação de Euler, temos:
$\qquad V+F=A+2\\ \qquad V+14=24+2\\ \qquad V=x=12.$
Logo, $x+y+z=12+24+14=50$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Um applet para ilustrar

Você pode utilizar o applet abaixo para construir um hexaedro truncado e visualizar as suas 14 faces.

Além do cubo e do hexaedro truncado, você vai visualizar uma a uma as oito pirâmides que serão construídas e retiradas quando o cubo é seccionado nos pontos médios de três arestas que concorrem em um vértice. Para isso é só esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que irão aparecer na janela da esquerda do aplicativo.

Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo abrirá uma janela 3D; assim, ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para clicar nos quadradinhos, utilize o botão esquerdo do mouse.
(3) A qualquer momento do processo, você poderá movimentar o cubo que aparece logo no primeiro passo, assim como o poliedro final obtido. Para isso, clique em qualquer ponto da janela direita do aplicativo, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente na janela do aplicativo e fazer o movimento.)
(4) Depois de construídas as oito pirâmides, ao clicar no último quadradinho que irá aparecer (Poliedro final obtido) o cubo inicial e todas as pirâmides serão retiradas para que você visualize o poliedro final.
(5) Para retornar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem ao lado da palavra Cubo.

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra