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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Unicamp, 2020 – Adaptado) A figura a seguir representa um triângulo isósceles com dois lados medindo 5cm e o ângulo formado por estes lados medindo θ.
Sabendo que cosθ=35, determine:
a) A área desse triângulo.
b) O comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Lembretes
(I) Relação Fundamental da Trigonometria:
sen2α+cos2α=1, para qualquer medida angular α.
(II) Conhecidas as medidas a e b de dois lados de um triângulo ABC qualquer e a medida α do ângulo compreendido entre estes lados, a área de ABC é dada por
Ar(ABC)=12⋅a⋅b⋅senα.
(III) (Lei dos Cossenos) Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos ˆA,ˆB e ˆC, com medidas respectivamente a,b e c, valem as relações:
a2=b2+c2−2⋅b⋅c⋅cosˆA;
b2=a2+c2−2⋅a⋅c⋅cosˆB;
c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cosˆC.
(IV) (Lei dos Senos) Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos ˆA,ˆB e ˆC, com medidas respectivamente a,b e c, vale a relação:
asenˆA=bsenˆB=csenˆC=2R,
sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
Solução 1
a) Como cosθ=35, pela Relação Fundamental da Trigonometria segue que:
sen2θ+cos2θ=1
sen2θ+(35)2=1
sen2θ=1−(35)2=1625
senθ=±45.
Como θ<180∘, devemos ter senθ=45.
Pelo Lembrete (II), a área do triângulo ABC é dada por
Ar(ABC)=12⋅5⋅5⋅senθ
Ar(ABC)=12⋅5⋅5⋅45
Ar(ABC)=10 cm2.
b) Seja l a medida do lado AC; então, pela Lei dos Cossenos, temos:
l2=52+52−2⋅5⋅5⋅cosθ=52+52−2⋅5⋅5⋅35=25+25−50⋅35=20.
Assim, l=2√5 cm.
Finalmente, sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, temos, pela Lei dos Senos, que:
lsenθ=2R2R=2√545R=5√54 cm.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
A princípio, chamaremos os dois lados iguais de a e b e a base do triângulo de c.
a) Podemos utilizar a fórmula para se obter a área de um triângulo usando seno: A=a⋅b⋅senθ2 (i).
Como temos apenas o valor de cosθ, podemos encontrar senθ utilizando a lei fundamental da trigonometria:
sen2θ+cos2θ=1
sen2θ=1−cos2θ.
Desenvolvendo e observando que senθ>0 temos:
sen2θ=1−(35)2sen2θ=1−925sen2θ=2525−925sen2θ=1625senθ=√1625
senθ=45. (ii)
Substituindo (ii) em (i), ficamos com:
A=a⋅b⋅senθ2A=5⋅52⋅45A=5⋅2A=10 cm2.
b) Podemos descobrir o raio da circunferência circunscrita utilizando a lei dos senos; porém, para isso, precisamos do valor da base c. Iremos descobrir aplicando a lei dos cossenos em c:
c2=a2+b2–2ab⋅cosθc2=52+52–2⋅5⋅5⋅35c2=25+25–2⋅5⋅5⋅35c2=50–2⋅5⋅3c2=50–30c2=20c=√20c=√2⋅2⋅5
c=2√5. (iii)
Agora, podemos aplicar a lei dos senos, utilizando (ii) e (iii), sendo r o raio da circunferência circunscrita:
csenθ=2r2√545=2r2√5⋅54=2r10√54=2r5√52=2rr=5√52⋅2r=5√54 cm.
Assim, concluímos que o triângulo da figura possui uma área de 10 cm2 e sua circunferência circunscrita tem um raio de 5√54 cm.
Solução elaborada pelo COM Potências de Euler.
Solução 3
a) Utilizando a lei dos cossenos para determinar o lado AC, temos:
AC2=52+52−2⋅5⋅5⋅35=50–30=20AC=2√5.
Daí, para determinarmos a área do triângulo, traçamos a altura relativa à base AC. Chamaremos o ponto médio de AC de M. O segmento BM é altura e também mediana; logo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo BMC, de hipotenusa medindo 5cm, cateto √5 e altura BM. Segue:
BM2=52–(√5)2=25–5=20BM=2√5.
Portanto, temos que a área do triângulo será:
A=2√5⋅2√52=4⋅52=10cm2.
b) Observando o triângulo BMC criado, como ele é retângulo, temos, por definição da razão trigonométrica seno, que:
senC=BMBC=2√55.
Portanto, para encontrar o raio da circunferência circunscrita, usamos a lei dos senos:
2R=ABsenC=52√55=252√5=25√52⋅5=5√52.
Portanto, R=5√54cm.
Solução elaborada pelo COM Phidias, com contribuições dos Moderadores do Blog.