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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Em um Clube de Matemática, trabalham [tex]4[/tex] professoras e [tex]4[/tex] professores e, entre eles, estão Aline e Bruno, que são casados.
Um grupo de [tex]3[/tex] desses professores deverá ir a um congresso, sendo, pelo menos, um homem. Obrigatoriamente, um dos elementos do casal deverá estar no grupo, mas não ambos.
De quantas maneiras diferentes esse grupo poderá ser organizado?
Extraído de FGV (Adaptado).
Solução
Há dois casos para a montagem desse grupo:
i) Aline está entre os três professores e Bruno não.
ii) Bruno está entre os três professores e Aline não.
- No primeiro caso, temos duas vagas para seis professores, pois Aline já é uma das selecionadas e Bruno não pode fazer parte do grupo.
Assim, temos um total de [tex]C_{6}^{2}=15[/tex] modos de escolher os outros dois professores.
Porém, pela restrição de ter ao menos um homem, devemos subtrair os casos em que essas duas vagas seriam preenchidas por mulheres. Isso ocorre de [tex]C_{3}^{2}=3[/tex] modos.
Portanto, nesse primeiro caso, temos [tex]15-3=12[/tex] grupos possíveis. - No segundo caso, como Bruno já está no grupo, Aline não pode fazer parte dele.
Assim, basta escolher dois professores para as duas vagas, pois a restrição de ter ao menos um homem no grupo já está contemplada.
A escolha de dois entre seis professores pode ser feita de [tex]C_6^2=15[/tex] maneiras.
Logo, pelo princípio aditivo, temos [tex]12+15=27[/tex] maneiras diferentes de organizar esse grupo.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.