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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Calcule o valor da soma
[tex]\qquad 2 \ \mathrm{sen}\, 2^\circ+ 4 \ \mathrm{sen} \,4^\circ+ 6 \ \mathrm{sen}\, 6^\circ+\cdots +178 \ \mathrm{sen} \,178^\circ[/tex].
Se necessário, use [tex] \mathrm{cotg} \ 1^\circ=57,29[/tex].
Extraído de XXVI OPM – Nível Gama.
Lembretes
(I) Dados dois ângulos [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]0^{\circ}\lt a\lt 180^{\circ}[/tex] e [tex]0^{\circ}\lt b\lt 180^{\circ}[/tex], vale a relação [tex]2 \ \mathrm{sen} \, a \ \mathrm{sen} \, b=\cos (a-b)-\cos(a+b)[/tex].
(II) Dado um ângulo [tex]a[/tex], com [tex]0^{\circ}\lt a\lt 180^{\circ}[/tex], então [tex]\cos(180^\circ-a)=-\cos a[/tex].
Solução
Vamos denotar a soma a ser calculada por [tex]S[/tex].
Assim, multiplicando [tex]S[/tex] por [tex]\mathrm{sen} \, 1^\circ[/tex], temos
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=2 \ \mathrm{sen} \, 2^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ+ 4 \ \mathrm{sen} \, 4^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ+ 6 \ \mathrm{sen} \, 6^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ+\cdots \\
\qquad \qquad \cdots+178 \ \mathrm{sen} \, 178^\circ \cdot \mathrm{sen} \, 1^\circ.[/tex]
Utilizando o fato de que [tex]2 \ \mathrm{sen} \, a \ \cdot \mathrm{sen} \, b=\cos (a-b)-\cos(a+b)[/tex], obtemos
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ-\cos3^\circ+2(\cos3^\circ-\cos5^\circ)+3(\cos5^\circ-\cos7^\circ)+\dots\\
\qquad \qquad \cdots+89(\cos177^\circ-\cos179^\circ)[/tex]
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ-\cos3^\circ+2 \cos3^\circ-2 \cos5^\circ+3 \cos5^\circ-3 \cos7^\circ+\dots\\
\qquad \qquad \cdots+89 \cos177^\circ-89 \cos179^\circ[/tex]
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ+\cos3^\circ+\cos5^\circ+\cos7^\circ+\dots\\
\qquad \qquad \cdots+\cos177^\circ-89\cos179^\circ.[/tex]
Com a identidade trigonométrica [tex]~\cos(180^\circ-a)=-\cos a~[/tex] podemos obter
- [tex]\cos 91^\circ=-\cos 89^\circ[/tex]
- [tex]\cos 93^\circ=-\cos 87^\circ[/tex]
- [tex]\cos 177^\circ=-\cos 3^\circ[/tex]
- [tex]\cos 179^\circ=-\cos 1^\circ[/tex]
[tex]\qquad ~~~~~~\vdots[/tex]
e, então
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ+\cos3^\circ+\cos5^\circ+\dots+\cos89^\circ-\cos89^\circ-\dots\\
\qquad \qquad \cdots-\cos5^\circ-\cos 3^\circ-89\cos179^\circ.[/tex]
Logo, cancelando os opostos, segue que:
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ\cancel{+\cos3^\circ}\cancel{+\cos5^\circ}+\dots\cancel{+\cos89^\circ}\cancel{-\cos89^\circ}-\dots\\
\qquad \qquad \cdots\cancel{-\cos5^\circ}\cancel{-\cos 3^\circ}-89\cos179^\circ[/tex]
[tex]\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=\cos1^\circ-89\cos179^\circ=\cos1^\circ+89\cos1^\circ\\
\quad S \cdot \mathrm{sen} \,1^\circ=90\cos1^\circ.[/tex]
Portanto,
[tex]\quad S=90~\dfrac{\cos1^\circ}{\mathrm{sen} \, 1^\circ}=90 \ \mathrm{cotg} \ 1^\circ.[/tex]
Usando o valor [tex]\boxed{ \mathrm{cotg} \ 1^\circ=57,29}[/tex], obtemos
[tex]\quad S=90\times 57,29=5\,156,1[/tex]
e, assim,
[tex]\quad 2 \ \mathrm{sen}\, 2^\circ+ 4 \ \mathrm{sen} \,4^\circ+ 6 \ \mathrm{sen}\, 6^\circ+\cdots +178 \ \mathrm{sen} \,178^\circ=5\,156,1\,.[/tex]
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