.Sala de Estudo: A Função Exponencial – Sala 2

Problemas resolvidos

Problema 1:
A massa radioativa [tex]M[/tex], em gramas, de certo corpo é dada como função do tempo [tex]n[/tex], em anos, pela fórmula

[tex]M(n) = 16\cdot 2^{-\frac{n}{5}}[/tex].

Calcule a meia-vida dessa substância.

Observe que, inicialmente, temos [tex]M(0) = 16\cdot 2^{-\frac{0}{5}}=16\cdot 2^0=16[/tex] gramas. Queremos saber o tempo necessário para que essa massa decaia para [tex]8[/tex] gramas. Usando a fórmula, temos
[tex]\qquad\begin{align}\quad& 8= 16\cdot 2^{-\frac{n}{5}} \\\Leftrightarrow \quad &\dfrac{1}{2}= 2^{-\frac{n}{5}} \\\Leftrightarrow \quad &2^{-1}= 2^{-\frac{n}{5}}\\\Leftrightarrow \quad & -1=-\dfrac{n}{5}\\\Leftrightarrow \quad & n=5.\end{align}[/tex]

Portanto, a meia-vida do material radioativo em questão é de [tex]5[/tex] anos.

Problema 2:
(Cesgranrio-RJ) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo [tex]t[/tex], contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: [tex]P(t)=40000\cdot 2^{-0,2t}[/tex]. Sendo [tex]P(t)[/tex] a população após [tex]t[/tex] anos, calcule quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da população inicial. Calcule também a taxa anual de decrescimento dessa população (use [tex]\sqrt[5]{0,5}=0,87[/tex]).

Observe que inicialmente temos [tex]P(0)=40000\cdot 2^{0}=40000[/tex] indivíduos. Vamos usar a fórmula da questão para encontrar o valor do tempo que corresponde à quarta parte de [tex]40000[/tex], ou seja, [tex]10000[/tex]:
[tex]\qquad\begin{align}\quad&10000=40000\cdot 2^{-0,2t}\\
\Leftrightarrow \quad &\dfrac{1}{4}= 2^{-0,2t}\\
\Leftrightarrow \quad &2^{-2}= 2^{-0,2t}\\
\Leftrightarrow \quad &-2= -0,2t\\
\Leftrightarrow \quad &t=10.\end{align}[/tex]

Portanto, em [tex]10[/tex] anos a população se reduzirá à quarta parte da população inicial.

Vamos encontrar a taxa de decrescimento anual de duas formas diferentes. Na primeira delas vamos ver a taxa de decrescimento num intervalo de um ano qualquer. Usando a fórmula da questão, temos
[tex]\qquad\begin{align}\quad&P(t)=40000\cdot 2^{-0,2t}\\
\quad &P(t+1)=40000\cdot 2^{-0,2(t+1)}=40000\cdot 2^{-0,2t-0,2}=40000\cdot 2^{-0,2t}\cdot2^{-0,2}=P(t)\cdot(0,5)^{\frac{1}{5}}=P(t)\sqrt[5]{0,5}=0,87P(t).\end{align}[/tex]

Isso mostra que a população está decrescendo a uma taxa de [tex]1-0,87=0,13[/tex] ou [tex]13\%[/tex] por ano.

A outra maneira é rearranjar a fórmula para [tex]P(t)[/tex] na forma padrão do crescimento exponencial:

[tex]P(t)=40000\cdot 2^{-0,2t}=40000 \cdot(2^{-0,2})^{t}=40000 \cdot(0,87)^{t}=40000 \cdot (1-0,13)^{t},[/tex]

e, com isso, podemos ver que se trata de um decrescimento exponencial com taxa relativa de [tex]13\%[/tex] ao ano.

Problema 3:
(Ence-RJ) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo [tex]t[/tex], em horas, de acordo com a fórmula [tex]M(t) = -3^{2t} – 3^{t+1} + 108[/tex]. Assim sendo, qual o tempo máximo de que o cientista dispõe para utilizar este material antes que ele se volatize totalmente?

No momento em que o material se volatizar por completo teremos [tex]M(t)=0[/tex]. Para saber o tempo em que isto ocorre devemos resolver a equação exponencial

[tex]-3^{2t} – 3^{t+1} + 108=0.[/tex]

Primeiramente observe que, devido às propriedades operatórias (1) e (5), [tex]3^{2t}=(3^t)^2[/tex] e [tex]3^{t+1}=3\cdot 3^t[/tex]. Assim,

[tex]-3^{2t} – 3^{t+1} + 108=0 \quad \Leftrightarrow \quad -(3^t)^2-3\cdot 3^t+108=0[/tex].

Com a mudança de incógnita [tex]T=3^t[/tex], nossa equação exponencial se transforma na equação do segundo grau

[tex]-T^2-3T+108=0,[/tex]

com soluções [tex]T=-12[/tex] e [tex]T=9[/tex]. Vejam que, como [tex]3^t[/tex] é sempre positivo, a solução [tex]T=-12[/tex] deve ser descartada. A solução [tex]T=9[/tex] leva à equação exponencial

[tex]9=3^t \ \ \Leftrightarrow \ \ 3^2=3^t \ \ \Leftrightarrow \ \ t=2 [/tex].

Portanto, o cientista terá no máximo [tex]2[/tex] horas para usar o material antes que ele se volatize completamente.

Problema 4:
Determinado imóvel foi avaliado em [tex]R\$ 350 [/tex] mil e, a partir daí , valoriza-se exponencialmente de acordo com a função [tex] v(t)=350000\cdot (1,1)^{t}[/tex], em que [tex]t[/tex] representa o tempo (em anos). Qual será o valor desse imóvel após [tex]3[/tex] anos da avaliação?

Basta usar a fórmula dada na questão para [tex]t=3[/tex]. O valor do imóvel será, então,

[tex]v(3)=350000\cdot(1,1)^{3}=350000\cdot 1,331=465850[/tex] reais.

Problema 5:
Em uma região litorânea, a população de uma espécie de algas tem crescido de modo que a área da superfície coberta por elas aumenta [tex]50\%[/tex] a cada ano, em relação à área coberta no ano anterior. Atualmente, a área da superfície coberta pelas algas é de, aproximadamente, [tex]4000 \ \text{m}^2[/tex]. Suponha que esse crescimento seja mantido. Qual a lei da função que representa a área [tex]y[/tex], em [tex]\text{m}^2[/tex], que a população de algas ocupará daqui a [tex]x[/tex] anos?

Basta observar que se trata de um crescimento exponencial com valor inicial de [tex]4000 \ \text{m}^2[/tex] e taxa de crescimento [tex]r=0,5[/tex] por ano. Assim, a área [tex]y[/tex] coberta por algas, após [tex]x[/tex] anos, pode ser expressa pela fórmula

[tex]y=4000\cdot(1+0,5)^x=4000\cdot(1,5)^x.[/tex]

Problema 6:
Um conjunto de sofás foi comprado por [tex]R\$ 2[/tex] mil. Com o tempo, por descuido do comprador, o sol foi queimando o tecido do sofá, que perdeu a cor original. Um comerciante do ramo informou ao comprador, que em uma situação desse tipo, a cada ano o sofá perde [tex]10\%[/tex] do valor que tinha no ano anterior. Sabendo que o comprador se informou com o comerciante [tex] 7[/tex] anos depois da compra, que valor o sofá teria nesta data, segundo o comerciante?

O valor do sofá apresenta um decrescimento exponencial com valor inicial de [tex]R\$ 2[/tex] mil e taxa relativa de crescimento [tex]r=-0,1[/tex] por ano. Assim, o valor do sofá [tex]V(x)[/tex], após [tex]x[/tex] anos, pode ser expresso pela fórmula

[tex] V(x)=2000\cdot(1-0,1)^x=2000\cdot(0,9)^x.[/tex]

Portanto, [tex]7[/tex] anos após a compra o valor do sofá era de

[tex]V(7)=2000\cdot(1-0,1)^x=2000\cdot(0,9)^7\approx 2000\cdot 0,478= R\$956,00.[/tex]

Problema 7:
(U. F. Uberlândia-MG) Na elaboração de políticas públicas que estejam em conformidade com a legislação urbanística de uso e ocupação do solo em regiões metropolitanas, é fundamental o conhecimento de leis descritivas do crescimento populacional urbano. Suponha que a lei dada pela função [tex]p (t) = 0,5\cdot 2^{kt}[/tex] expresse um modelo representativo da população de uma cidade (em milhões de habitantes) ao longo do tempo [tex]t[/tex] (em anos), contados a partir de [tex]1970[/tex], isto é, [tex]t = 0[/tex] corresponde ao ano de [tex]1970[/tex], sendo [tex]k[/tex] uma constante real. Sabendo que a população dessa cidade em [tex]2000[/tex] era de [tex]1[/tex] milhão de habitantes:
a) Extraia do texto dado uma relação de forma a obter o valor de [tex] k[/tex].
b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, descreva e execute um plano de resolução que possibilite estimar em qual ano a população desta cidade atingirá [tex]16[/tex] milhões de habitantes.

a) Como [tex]1970[/tex] equivale a [tex]t=0[/tex], então [tex]2000[/tex] equivale a [tex]t=30[/tex]. A informação que para [tex]t=30[/tex] a população é de [tex]1[/tex] milhão resulta na equação
[tex]\qquad\begin{align}\quad&1 = 0,5\cdot 2^{30k}\\
\Leftrightarrow \quad &2 = 2^{30k}\\
\Leftrightarrow \quad &1=30k\\
\Leftrightarrow \quad &k=\dfrac{1}{30}.\end{align}[/tex]

b) Com o valor da constante [tex]k[/tex] encontrado no item anterior, a fórmula para o crescimento da população pode ser dada por

[tex]p (t) = 0,5\cdot 2^{\frac{t}{30}}.[/tex]

Agora, podemos usá-la para descobrir o valor para [tex]t[/tex] que resulta numa população de [tex]16[/tex] milhões:
[tex]\qquad\begin{align}\quad&16 = 0,5\cdot 2^{\frac{t}{30}}\\
\Leftrightarrow \quad &32 = 2^{\frac{t}{30}}\\
\Leftrightarrow \quad &2^5 = 2^{\frac{t}{30}}\\
\Leftrightarrow \quad &5 = \dfrac{t}{30}\\
\Leftrightarrow \quad &t=150.\end{align}[/tex]

Assim, a cidade terá [tex]16[/tex] milhões de habitantes no ano de [tex]1970+150=2120[/tex].

Problema 8:
(UF-PE) Em uma aula de biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por [tex]10[/tex] minutos e informa um valor [tex]Q[/tex]. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua informação após [tex]1[/tex] hora, mas, sabendo que a população de bactérias obedece à equação [tex]P(t)=P_0\cdot a^{kt}[/tex] ([tex]a[/tex] e [tex]k[/tex] são constantes), Beatriz deduz que encontrará uma potência do valor informado por Antônio. Qual é o expoente dessa potência?

Observe que o quociente obtido por Antônio é

[tex]Q=\dfrac{P(10)}{P(0)}=\dfrac{P_0\cdot a^{10k}}{P_0}=a^{10k}.[/tex]

Observe agora o que acontece com o quociente encontrado por Beatriz:

[tex]\dfrac{P(60)}{P(0)}=\dfrac{P_0\cdot a^{60k}}{P_0}=a^{60k}=(a^{10k})^6=Q^6.[/tex]

Portanto, o quociente obtido por Beatriz é a sexta potência do quociente encontrado por Antônio.

Problema 9:
(UF-PE/UF Rural-PE) Suponha que um teste possa detectar a presença de esteróides em um atleta, quando a quantidade de esteróides em sua corrente sanguínea for igual ou superior a [tex]1[/tex] mg. Suponha também que o corpo elimina [tex]1/4[/tex] da quantidade de esteróides presentes na corrente sanguínea a cada [tex]4[/tex] horas. Se um atleta ingere [tex] 10[/tex] mg de esteróides, passadas quantas horas não será possível detectar esteróides, submetendo o atleta a este teste? (Dado: use a aproximação [tex] 10\approx (4/3)^8[/tex].)

Seja [tex]Q(x)[/tex] a quantidade de esteróides restantes na corrente sanguínea [tex]x[/tex] períodos de [tex]4[/tex] horas após a ingestão. Temos um caso de decrescimento exponencial com [tex]Q(0)=10[/tex] e [tex]r=-\dfrac{1}{4}[/tex]. Assim,

[tex]Q(x)=10\cdot\left(1-\dfrac{1}{4}\right)^x=10\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.[/tex]

Primeiro, vamos encontrar o tempo necessário para que a quantidade de esteróides restantes na corrente sanguínea seja [tex]1[/tex] mg. Para isto, temos que resolver a equação

[tex]1=10\left(\dfrac{3}{4}\right)^x[/tex].

Usando a aproximação fornecida no enunciado do problema, temos [tex]10^{-1}\approx (4/3)^{-8}=(3/4)^{8}.[/tex]

Assim,

[tex]\left( \dfrac{3}{4}\right)^8=\left(\dfrac{3}{4}\right)^x\Leftrightarrow x=8.[/tex]

Dessa forma, após [tex]8[/tex] períodos de [tex]4[/tex] horas, ou seja, após [tex]32[/tex] horas, a quantidade de esteróides restantes na corrente sanguínea será de aproximadamente [tex]1[/tex] mg. Após esse intervalo de tempo, não poderá mais ser detectada.

Problema 10:
(Unifesp-SP) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumulado a cada [tex]2[/tex] horas. Daí, se [tex]K[/tex] é o volume da substância no organismo, pode-se utilizar a função [tex]f(t)=K\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{t}{2}}[/tex] para estimar a sua eliminação depois de um tempo [tex]t[/tex], em horas. Neste caso, qual é o tempo mínimo necessário para que uma pessoa tenha no máximo [tex]2[/tex] mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido [tex]128[/tex] mg numa única dose?

Vamos usar a fórmula fornecida pelo enunciado do problema para encontrar o tempo necessário para que [tex]128[/tex] mg de gentamicina se reduza a [tex]2[/tex] mg.
[tex]\qquad\begin{align}\quad&2=128 \cdot\left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{t}{2}}\\
\Leftrightarrow \quad &\dfrac{1}{64}=\left(\dfrac{1}{2} \right)^{\frac{t}{2}}\\
\Leftrightarrow \quad &2^{-6}=\left(2 \right)^{-\frac{t}{2}}\\
\Leftrightarrow \quad &-6=-\dfrac{t}{2}\\
\Leftrightarrow \quad &t=12.\end{align}[/tex]

Portanto, são necessárias no mínimo [tex]12[/tex] horas para que haja no máximo [tex]2[/tex] mg de gentamicina no organismo.

Problema 11:
Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste experimento, qual é a função que modela o número de bactérias em função do tempo?

Como se trata de um crescimento de populações, podemos usar a fórmula

[tex]P(n)=P(0)\cdot (1+r)^n,[/tex]

em que [tex]P(0)[/tex] é a população inicial e [tex]n[/tex] é o número de períodos, no caso horas, de tempo que se passaram. Nesse caso, temos [tex]r=-0,5[/tex]. Assim, a função que modela o número de bactérias em função do tempo é

[tex]P(n)=P(0)\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n[/tex].

Problema 12:
O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou [tex]8 000[/tex] unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em [tex]50\%[/tex]. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de [tex]50\%[/tex]. Considere [tex]P[/tex] a quantidade anual de produtos fabricados no ano [tex]t[/tex] de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas [tex]P[/tex] em função de [tex]t[/tex], para [tex]t\geq 1[/tex]?

Se trata de um crescimento exponencial com quantidade inicial de [tex]8 000[/tex] unidades no ano [tex]1[/tex] e [tex]r=0,5[/tex]. No tempo [tex]t\geq 1[/tex], terão passados [tex]t-1[/tex] períodos de [tex]1[/tex] ano. Assim, o número de unidades produzidas [tex]P[/tex] em função de [tex]t[/tex] será de

[tex]P(t)=8000\cdot(1,5)^{t-1}.[/tex]

Problema 13:
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de [tex]R\$ 1 800[/tex] propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial [tex]S[/tex], em função do tempo [tex]t[/tex] de serviço, em anos, é [tex]S(t) = 1 800 \cdot (1,03)^t [/tex]. De acordo com a proposta do sindicato, qual será o salário de um profissional dessa empresa com [tex]2[/tex] anos de tempo de serviço?

Basta usar a fórmula fornecida no enunciado com [tex]t=2[/tex]. Assim, o salário de um profissional dessa empresa com [tex]2[/tex] anos de tempo de serviço será

[tex]S(2) = 1 800 \cdot (1,03)^2=R\$ 1909,62. [/tex]

Equipe COM – OBMEP

Janeiro de 2025

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