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Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio)
Qual o menor número natural que multiplicado por [tex]10![/tex] resulta em um cubo perfeito não nulo?
Lembrete
✐ Se [tex]n[/tex] é um número natural tal que [tex]n \gt 1[/tex], chamamos de fatorial de [tex]n[/tex] e denotamos por [tex]\textcolor{#800000}{n!}[/tex] o produto [tex]n \cdot (n-1) \cdot \, \cdots \, \cdot 2 \cdot 1[/tex], ou seja, o resultado de multiplicar [tex]n[/tex] por todos os números naturais não nulos anteriores a [tex]n[/tex]:
[tex]\qquad \qquad \textcolor{#800000}{n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \cdots \, \cdot2 \cdot 1}\, .[/tex]
Particularmente, os fatoriais de [tex]0[/tex] e [tex] 1[/tex] são, respectivamente, assim definidos:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{0!=1}[/tex]
[tex]\quad \textcolor{#800000}{1!=1}\, .[/tex]
Solução
- Convém lembrar que um número inteiro positivo é dito um cubo perfeito se, escrito como produto de números primos positivos, tiver todos os seus fatores com expoentes múltiplos de [tex]3.[/tex]
Assim, vamos escrever o número [tex]10![/tex] como produto de números primos:
[tex]\qquad 10!=10 \cdot 9 \cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1[/tex]
[tex]\qquad 10!=(5\cdot 2) \cdot 3^2 \cdot 2^3\cdot 7\cdot (2 \cdot 3) \cdot 5\cdot 2^2 \cdot 3\cdot 2\cdot 1[/tex]
[tex]\qquad 10!=2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7\, . [/tex]
Para que os expoentes dos números primos que aparecem na decomposição de [tex]10![/tex] sejam todos múltiplos de [tex]3[/tex], e os menores possíveis, teremos que multiplicar [tex]10![/tex] por [tex]2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2[/tex].
Observe:
[tex]\qquad \begin{align*}10! \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2) &=2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2)\\
&=(2^8 \cdot 2) \cdot (3^4 \cdot 3^2) \cdot (5^2 \cdot 5)\cdot (7 \cdot 7^2)\\
&=2^9 \cdot 3^6 \cdot 5^3\cdot 7^3
\end{align*} [/tex]
e [tex]\boxed{2^9 \cdot 3^6 \cdot 5^3\cdot 7^3}\, [/tex] é um cubo perfeito!
Assim, o menor número pelo qual devemos multiplicar [tex]10![/tex] para obtermos um cubo perfeito é, de fato, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2=4410$}\, .[/tex]
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