Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A soma dos números naturais de três algarismos distintos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=abc$}[/tex] e [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=bca$}[/tex] é [tex]10[/tex] vezes o produto dos algarismos [tex]a,b[/tex] e [tex]c[/tex].
Determine o número [tex]n.[/tex]
(Observação: As notações [tex]n=abc[/tex] e [tex]m=bca[/tex] não indicam produtos e sim a representação de [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] no sistema decimal.)
Solução
Os números [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=abc$}[/tex] e [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=bca$}[/tex] podem ser escritos na chamada forma polinomial decimal da seguinte maneira:
[tex]\qquad n=100\cdot a+10\cdot b+c[/tex]
[tex]\qquad m=100\cdot b+10\cdot c+a.[/tex]
Assim, a hipótese de que a soma de [tex]n=abc[/tex] e [tex]m=bca[/tex] é [tex]10[/tex] vezes o produto dos algarismos [tex]a,b[/tex] e [tex]c[/tex] pode ser indicada algebricamente como:
[tex]\qquad (100\cdot a+10\cdot b+c)+(100\cdot b+10\cdot c+a)=10\cdot a\cdot b\cdot c.[/tex]
Para simplificar a notação, daqui para frente indicaremos as multiplicações pela justaposição de seus fatores; portanto, segue que:
[tex]\qquad (100a+10b+c)+(100b+10c+a)=10abc[/tex]
[tex]\qquad 100a+10b+c+100b+10c+a=10abc[/tex]
[tex]\qquad (100a+a)+(10b+100b)+(c+10c)=10abc[/tex]
[tex]\qquad 101a+110b+11c=10abc. \quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe, agora, os algarismos das unidades da igualdade a soma de [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] é igual [tex]10[/tex] vezes o produto dos algarismos [tex]a,b[/tex] e [tex]c:[/tex]
[tex]\qquad \qquad \quad \quad \begin{array}{c c c r}
a&b&c&+\\
b&c&a&\\
\hline
& & 0&
\end{array}
[/tex]
e perceba que [tex]a+c[/tex] termina em [tex]0[/tex]. Sabemos que [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] são algarismos distintos, logo [tex]0\lt a+c \lt 18[/tex], donde concluímos que [tex]\boxed{a+c=10}.[/tex]
Como temos a informação de que [tex]\textcolor{#800000}{\boxed{a+c=10}}[/tex], vamos trabalhar um pouco mais com a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]:
[tex]\qquad 101a+110b+11c=10abc[/tex]
[tex]\qquad (90+11)a+110b+11c=10abc[/tex]
[tex]\qquad 90a+110b+(11a+11c)=10abc[/tex]
[tex]\qquad 90a+110b+11 \textcolor{#800000}{(a+c)}=10abc[/tex]
[tex]\qquad 90a+110b+11\times \textcolor{#800000}{10}=10abc[/tex]
[tex]\qquad 90a+110b+110=10abc[/tex]
[tex]\qquad 9a+11b+11=abc[/tex]
Parece que chegamos ao fim da linha, não é?
Mas perceba que, da última igualdade, temos que [tex]9a+11=b(ac-11)[/tex], portanto:
- podemos concluir que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex], já que [tex]b[/tex] é um número natural;
- como [tex]ac-11 \gt 0[/tex], temos que [tex]ac \gt 11[/tex].
Como [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] são algarismos distintos tais que [tex]\textcolor{#800000}{\boxed{a+c=10}}[/tex] é só testar as possibilidades…
Vamos lá?
- Se [tex]\boxed{a=1} , \boxed{c=9}[/tex], [tex]ac=9[/tex] não satisfaz a condição [tex]ac \gt 11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=2} [/tex] e [tex] \boxed{c=8}[/tex], [tex]9a+11=18+11=29[/tex] e [tex]ac-11=16-11=5[/tex] não satisfazem a condição de que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=3} [/tex] e [tex] \boxed{c=7}[/tex], [tex]9a+11=27+11=38[/tex] e [tex]ac-11=21-11=10[/tex] não satisfazem a condição de que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=4} [/tex] e [tex] \boxed{c=6}[/tex], [tex]9a+11=36+11=47[/tex] e [tex]ac-11=24-11=13[/tex] não satisfazem a condição de que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=5} [/tex] e [tex] \boxed{c=5}[/tex], não teremos algarismos distintos.
- Se [tex]\boxed{a=6} [/tex] e [tex] \boxed{c=4}[/tex], [tex]9a+11=54+11=65[/tex] e [tex]ac-11=24-11=13[/tex] satisfazem a condição de que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=7} [/tex] e [tex] \boxed{c=3}[/tex], [tex]9a+11=63+11=74[/tex] e [tex]ac-11=21-11=10[/tex] não satisfazem a condição de que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=8} [/tex] e [tex] \boxed{c=2}[/tex], [tex]9a+11=72+11=83[/tex] e [tex]ac-11=16-11=5[/tex] não satisfazem a condição de que [tex]9a+11[/tex] é múltiplo de [tex]ac-11[/tex].
- Se [tex]\boxed{a=9} [/tex] e [tex] \boxed{c=1}[/tex], [tex]ac=9[/tex] não satisfaz a condição [tex]ac \gt 11[/tex].
Pelos nossos cálculos, observamos que a única possibilidade de valores para [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=6$} [/tex] e [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=4$}[/tex] e, da igualdade [tex]9a+11=b(ac-11)[/tex], obtemos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=5$} [/tex].
Assim, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=654$}.[/tex]
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