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Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Um grupo de amigos, numa excursão, aluga uma van por [tex]R$ \, 342,00[/tex], sendo que esse valor, a princípio, deveria ser dividido igualmente por todos.
Contudo, ao fim do passeio, três amigos estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando, cada um deles 19 reais a mais.
Quantos eram os amigos?
Solução 1
- Sendo [tex]x[/tex] a quantidade total de amigos e [tex]p[/tex] o que cada amigo deveria pagar inicialmente, em reais, o enunciado fornece o seguinte sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}342=xp \, \, \, \textcolor{#800000}{(i)}\\
342=(x-3)(p+19)=xp-3p+19x-57 \, \, \, \textcolor{#800000}{(ii)}\end{cases}[/tex] - Subtraindo a primeira equação da segunda, temos [tex]0=-3p+19x-57[/tex], isto é,
[tex]\qquad 3p-19x=-57. \, \, \, \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] - Isolando [tex]p[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad p=\dfrac{19x-57}{3} \, \, \, \textcolor{#800000}{(vi)}[/tex] - Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], encontramos:
[tex]\qquad 342=x\cdot\left(\dfrac{19x-57}{3}\right)[/tex]
[tex]\qquad 1026=19x^2-57x[/tex]
[tex]\qquad 19x^2-57x-1026=0[/tex]
[tex]\qquad x^2-3x-54=0. \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex] - Pela "fórmula de resolução de equações do segundo grau", as soluções da equação [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] são dadas por:
[tex]\quad x_1=\dfrac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4\times 1\times(-54)}}{2\times 1}=\dfrac{3+\sqrt{225}}{2}=\dfrac{3+15}{2}=9[/tex]
[tex]\quad x_2=\dfrac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4\times 1\times(-54)}}{2\times 1}=\dfrac{3-\sqrt{225}}{2}=\dfrac{3-15}{2}=-6[/tex]
Perceba que a segunda solução não convém, pois [tex]x[/tex] indica a quantidade de amigos e é, portanto, um número positivo.
Assim, eram [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=9$} \, [/tex] amigos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Vamos chamar de [tex]x[/tex] o valor individual a ser pago por cada amigo, antes da ausência dos três. Vamos chamar de [tex]y[/tex] o número total de amigos. Daí, obtemos o sistema:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases} \frac{342}{y}=x\\
\frac{342}{y-3}=x+19\end{cases}[/tex]
Desenvolvendo o sistema, obtemos a seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad y^{2}-3y-54=0 .[/tex]
Resolvendo essa última equação, obtemos as raízes [tex]y_1=9[/tex] e [tex]y_2=-6[/tex].
Percebemos que [tex]y_2=-6[/tex] não é viável, visto que a quantidade de amigos deverá ser um número positivo. Daí concluímos que o número de amigos é [tex]9[/tex].
- Por curiosidade, substituindo [tex]y[/tex] na equação 1, obtemos o valor que deveria ser pago por cada amigo que é [tex]R$ \, 38,00[/tex].
- Caso queira determinar o valor pago após a ausência dos três, basta somarmos [tex]R$ \, 19,00[/tex], obtendo [tex]R$ \, 57,00[/tex].
Solução elaborada pelo Clube Deltonautas, com contribuições dos Moderadores do Blog.