Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
O mapa abaixo mostra uma estrada retilínea que passa sucessivamente pelas cidades [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex].
Outra cidade, [tex]D[/tex], distante [tex]120 \, km [/tex] de [tex]A[/tex], localiza-se de tal forma que o [tex]\angle{DAB}=36^\circ[/tex].
Um viajante fez o trajeto de [tex]A[/tex] para [tex]B[/tex], de [tex]B[/tex] para [tex]D[/tex] e de [tex]D[/tex] para [tex]C[/tex], onde [tex]AB=BD=DC[/tex].
Se o viajante tivesse ido diretamente de [tex]A[/tex] até [tex]C[/tex], qual a distância que ele teria percorrido?
Solução
Observe os ângulos mostrados na figura abaixo.
- Como [tex]AB=BD[/tex], o triângulo [tex]ABD[/tex] é isósceles e como [tex]\angle{DAB}=36^\circ[/tex], então [tex]\angle{BDA}=36^\circ[/tex].
- Como a soma dos ângulos internos do triângulo [tex]ABD[/tex] é [tex]180^{\circ}[/tex], então [tex]\angle{ABD}=180^\circ -36^\circ -36^\circ=108^\circ[/tex].
- Como os ângulos [tex]A\hat{B}D[/tex] e [tex]D\hat{B}C[/tex] são suplementares, então [tex]\angle{DBC}=180^\circ-108^\circ=72^\circ[/tex].
- Como [tex]BD=DC[/tex], o triângulo [tex]BCD[/tex] é isósceles; assim, [tex]\angle{DCB}=\angle{DBC}=72^\circ[/tex].
- A soma dos ângulos internos do triângulo [tex]BCD[/tex] é [tex]180^{\circ}[/tex], então [tex]\angle{CDB}=180^\circ -72^\circ -72^\circ=36^\circ[/tex].
Veja que o triângulo [tex]ACD[/tex] é isósceles, com os ângulos da base [tex]\overline{DC}[/tex] medindo [tex] 72^\circ[/tex]; portanto, se o viajante tivesse ido diretamente de [tex]A[/tex] até [tex]C[/tex], teria percorrido uma distância [tex]\boxed{AC=AD=120 \, km} \, .[/tex]
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