[tex]25.[/tex] Sem efetuar as distributividades e os produtos, desenvolva a expressão [tex](a+b+c+d)^3[/tex], admitindo que [tex]a, \, b, \, c, \, d \, [/tex] são números reais.
Inicialmente, observe que, se fôssemos desenvolver a expressão dada, encontraríamos [tex]64[/tex] parcelas, com uma das seguintes formas:
[tex]\qquad \qquad \boxed{x^3} \quad [/tex] , [tex]\quad \boxed{x^2y}\quad [/tex] e [tex]\quad \boxed{xyz} \, \, [/tex], com [tex] \, \, x, \, y, \, z \in \{a, \, b, \, c, \, d\}[/tex].
Agora, observe que:
Termos da forma [tex]\boxed{x^3}[/tex] aparecem quando multiplicamos [tex]x\cdot x\cdot x.[/tex]
Assim, vamos ter quatro parcelas desse tipo na nossa expressão:
Termos da forma [tex]\boxed{x^2y}[/tex] aparecem quando multiplicamos dois [tex]x[/tex] e um [tex]y[/tex], com [tex]x\ne y[/tex].
No nosso caso, temos quatro escolhas para [tex]y[/tex], então poderemos ter parcelas da forma [tex]x^2a, \, x^2b, \, x^2c, \, x^2d[/tex]. Mas, para cada um dos quatro termos [tex]x^2a, \, x^2b, \, x^2c, \, x^2d \, [/tex], temos três escolhas para [tex]x[/tex]; assim:
para [tex]\textcolor{red}{x}^2a[/tex] obtemos os termos [tex]\textcolor{red}{b}^2a[/tex] , [tex]\textcolor{red}{c}^2a[/tex] e [tex]\textcolor{red}{d}^2a[/tex];
para [tex]\textcolor{blue}{x}^2b[/tex] obtemos os termos: [tex]\textcolor{blue}{a}^2b[/tex] , [tex]\textcolor{blue}{c}^2b[/tex] , [tex]\textcolor{blue}{d}^2b[/tex];
para [tex]\textcolor{green}{x}^2c[/tex] obtemos os termos: [tex]\textcolor{green}{a}^2c[/tex] , [tex]\textcolor{green}{b}^2c[/tex] , [tex]\textcolor{green}{d}^2c[/tex];
para [tex]\textcolor{#A020F0}{x}^2d[/tex] obtemos os termos: [tex]\textcolor{#A020F0}{a}^2d[/tex] , [tex]\textcolor{#A020F0}{b}^2d[/tex] , [tex]\textcolor{#A020F0}{c}^2d[/tex].
Mas perceba que, para construirmos os termos [tex]x^2y[/tex], escolhido um [tex]\textcolor{#8B0000}{y}[/tex], esse [tex]\textcolor{#8B0000}{y}[/tex] está em cada um dos três parênteses [tex]I , II , III[/tex], já que [tex]x\cdot x\cdot \textcolor{#8B0000}{y}=x\cdot \textcolor{#8B0000}{y}\cdot x=\textcolor{#8B0000}{y} \cdot x \cdot x=x^2\textcolor{#8B0000}{y} \, [/tex].
Assim, na nossa expressão aparecerão [tex]3\times 12=36 \, [/tex] parcelas da forma [tex]x^2y[/tex]:
Finalmente, termos da forma [tex]\boxed{xyz}[/tex] aparecem quando multiplicamos um [tex]x[/tex], um [tex]y[/tex] e um [tex]z[/tex], com [tex]x \ne y[/tex], [tex]x \ne z[/tex] e [tex]y \ne z[/tex].
Na nossa expressão temos quatro grupos de três números distintos:
"[tex]a, \, b, \, c \, [/tex]" ; "[tex]a, \, b, \, d \, [/tex]" ; "[tex] \, a, \, c, \, d \, [/tex]" ; "[tex]b, \, c, \, d \, [/tex]".
Mas, como o produto de números reais é comutativo, um mesmo termo da forma [tex]\boxed{xyz}[/tex] pode ser obtido de seis modos diferentes, já que temos três escolhas possíveis para [tex]x[/tex] (uma em cada parêntese), duas escolhas possíveis para [tex]y[/tex] (uma em cada um dos dois parênteses restantes) e uma escolha para [tex]z[/tex] (no parêntese que sobrou sem elemento escolhido). Assim, cada grupo de letras produz seis parcelas na nossa expressão.
[tex]26.[/tex] (Moldávia) Os números inteiros [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] satisfazem a relação [tex]x+y+z=0[/tex].
Mostre que o número [tex]2(x^4+y^4+z^4)[/tex] é um quadrado perfeito.
Dado que [tex]x+y+z=0[/tex] , então temos também que [tex](x+y+z)^2=0 \, [/tex], logo segue que:
[tex] \qquad (x+y+z)\cdot (x+y+z)=0\\
\qquad x^2+xy+xz+yx+y^2+yz+zx+zy+z^2=0\\
\qquad x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=0[/tex]
e, assim, temos que [tex] x^2+y^2+z^2=-2xy-2xz-2yz \, [/tex] , donde:
[tex]\qquad \left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(-2xy-2xz-2yz\right)^2[/tex]
[tex]\qquad \left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(2xy+2xz+2yz\right)^2[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=4x^2y^2+4x^2z^2+4y^2z^2+8x^2yz+8xy^2z+8xyz^2 [/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2+8xyz \underbrace{(x+y+z)}_{0}[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4+(x^4+y^4+z^4)=(x^4+y^4+z^4)+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2[/tex]
[tex]\qquad 2x^4+2y^4+2z^4=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2[/tex]
[tex]\qquad 2x^4+2y^4+2z^4=(x^2+y^2+z^2)^2[/tex]
[tex]\qquad 2(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2)^2.[/tex]
A igualdade [tex]\boxed{2(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex] mostra que, nas condições do problema, o número [tex]2(x^4+y^4+z^4)[/tex] é um quadrado perfeito.
Observe que cada parcela da soma em questão é da forma [tex]\boxed{\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(a+1)^2}}},[/tex] sendo [tex]a[/tex] um número natural não nulo. Assim, vamos trabalhar primeiramente nessa expressão.
Pois bem, observe que, se [tex]a[/tex] é um número natural não nulo, então segue que:
[tex]\begin{align*}\qquad \sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(a+1)^2}}&=\sqrt{\dfrac{a^2(a+1)^2+(a+1)^2+a^2}{a^2(a+1)^2}}\\
&=\sqrt{\dfrac{a^4+2a^3+a^2+a^2+2a+1+a^2}{a^2(a+1)^2}}\\
&=\sqrt{\dfrac{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}{a^2(a+1)^2}}\\
&=\sqrt{\dfrac{(a^2+a+1)^2}{a^2(a+1)^2}}\\
&=\dfrac{a^2+a+1}{a(a+1)} =\dfrac{a(a+1)+1}{a(a+1)}\\
&=1+\dfrac{1}{a(a+1)}=1+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}.\end{align*}[/tex]
Assim, [tex] \, \, \boxed{\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(a+1)^2}}}=\boxed{1+\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}} \, [/tex], para todo número natural não nulo [tex]a[/tex].
Podemos, agora, aplicar essa igualdade para calcular o valor da expressão proposta no enunciado.
Vamos desenvolver inicialmente a expressão dada como hipótese no enunciado.
[tex]\begin{align*}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}&\iff (a+b+c)(ab+ac+bc)=abc\\
&\iff (a+b+c)(ab+ac)+(a+b+c)(bc)=abc\\
& \iff (a+b+c)(ab+ac)+(b+c)(bc)=abc-abc\\
&\iff a(a+b+c)(b+c)+bc(b+c)=0 \\
& \iff (b+c)(a^2+ab+ac+bc)=0 \\
&\iff (b+c)[a(a+b)+c(a+b)]=0 \\
&\iff (b+c)(a+b)(a+c)=0.
\end{align*}[/tex]
Mas perceba que a última igualdade só será verdadeira, se, pelo menos, uma das seguintes condições ocorrer
[tex]\qquad \qquad \boxed{b=-c}[/tex] ; [tex]\boxed{a=-b}[/tex] ; [tex]\boxed{a=-c}.[/tex]
Vamos analisar, então, cada uma dessas três igualdades e mostrar que, se cada uma delas ocorrer, teremos a igualdade proposta no problema.
Se [tex]b=-c[/tex], temos que [tex]b^n=-c^n[/tex], já que [tex]n[/tex] é ímpar. Desse modo,
[tex]\quad \begin{align*}\boxed{\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}}&=\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{-c^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n}-\dfrac{1}{c^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n}\cancel{-\dfrac{1}{c^n}}+\cancel{\dfrac{1}{c^n}}\\
&=\dfrac{1}{a^n}=\dfrac{1}{a^n+0}=\dfrac{1}{a^n+\left(c^n-c^n\right)}=\\
&=\dfrac{1}{a^n-c^n+c^n}=\boxed{\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}}.
\end{align*}
[/tex]
Se [tex]a=-b[/tex], temos que [tex]a^n=-b^n[/tex], pois [tex]n[/tex] é ímpar. Assim,
[tex]\quad \begin{align*}\boxed{\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}}&=\dfrac{1}{-b^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}\\
&=-\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\cancel{-\dfrac{1}{b^n}}\cancel{+\dfrac{1}{b^n}}+\dfrac{1}{c^n}\\
&=\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{0+c^n}=\dfrac{1}{\left(-b^n+b^n\right)+c^n}\\
=\dfrac{1}{-b^n+b^n+c^n}=\boxed{\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}}.
\end{align*}
[/tex]
Se [tex]a=-c[/tex], temos que [tex]a^n=-c^n[/tex], para [tex]n[/tex] ímpar. Assim,
[tex]\quad \begin{align*}\boxed{\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}}&=\dfrac{1}{-c^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=-\dfrac{1}{c^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\cancel{-\dfrac{1}{c^n}}+\dfrac{1}{b^n}\cancel{+\dfrac{1}{c^n}}\\
&=\dfrac{1}{b^n}=\dfrac{1}{0+b^n}=\dfrac{1}{\left(-c^n+c^n\right)+b^n}=\dfrac{1}{-c^n+c^n+b^n}\\
&= \dfrac{1}{a^n+c^n+b^n}=\boxed{\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}}.
\end{align*}
[/tex]
Logo, a igualdade proposta é verdadeira.
[tex]29.[/tex] Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] números reais dois a dois distintos. Prove que a expressão
não depende de [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex].
Vamos desenvolver a expressão dada no enunciado do problema e mostrar que ela é uma constante. Observe:
[tex]\qquad \dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}=[/tex]
Assim, para quaisquer valores de [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex],
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{x(y+z)}{(x-y)(x-z)}+\dfrac{y(x+z)}{(y-z)(y-x)}+\dfrac{z(x+y)}{(z-x)(z-y)}=-1}.[/tex]
[tex]30.[/tex] Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] números reais distintos. Prove que
não depende de [tex]x[/tex], nem de [tex]y[/tex], nem de [tex]z[/tex].
Elevando ao quadrado a igualdade dada como hipótese, obtemos as seguintes igualdades equivalentes:
[tex]\qquad (ax+by+cz)^2=0^2\Leftrightarrow \\
\qquad a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(abxy+bcyz+cazx)=0\Leftrightarrow\\
\qquad -2(abxy+bcyz+cazx)=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe, agora, a seguinte sequência de igualdades:
[tex]\qquad \boxed{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}= \\
\qquad\qquad = bc(y^2-2yz+z^2)+ca(z^2-2zx+x^2)+ab(x^2-2xy+y^2)\\
\qquad\qquad = x^2(ab+ac)+y^2(ba+bc)+z^2(ca+cb)\textcolor{#800000}{-2(abxy+bcyz+cazx)}\\
\qquad\qquad \stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} x^2(ab+ac)+y^2(ba+bc)+z^2(ca+cb)\textcolor{#800000}{+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2}\\
\qquad \qquad =x^2(a^2+ab+ac)+y^2(ba+b^2+bc)+z^2(ca+cb+c^2)\\
\qquad\qquad =ax^2(a+b+c)+by^2(a+b+c)+cz^2(a+b+c)\\
\qquad \qquad =\boxed{(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)} \, .[/tex]
Dessa forma, temos que:
[tex]\; \dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\dfrac{\cancel{ax^2+by^2+cz^2}}{(a+b+c)\cancel{(ax^2+by^2+cz^2)}}=\dfrac{1}{a+b+c}[/tex],
e assim concluímos que, de fato, [tex] \, \dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2} \, [/tex] independe de [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex].
[tex]32.[/tex] (Canadá) Os dois menores lados de um triângulo retângulo, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], satisfazem à desigualdade
Portanto, por [tex] \color{#800000}{(I)}[/tex] e [tex] \color{#800000}{(II)}[/tex], temos que [tex]\sqrt{(a-3\sqrt{2})^2+1} + \sqrt{(b-2\sqrt{3})^2+4}=3.\qquad \qquad \color{#800000}{(III)}[/tex]
Perceba que a igualdade [tex]\color{#800000}{(III)}[/tex] só é verdadeira se [tex](a-3\sqrt{2})^2=0 \, \, [/tex] e [tex] \, \, (b-2\sqrt{3})^2 =0; \, [/tex] assim, [tex]a=3\sqrt{2}[/tex] e [tex]b=2\sqrt{3}[/tex].
Como os lados menores de um triângulo retângulo são os seus catetos e a hipotenusa do triângulo cujos catetos medem [tex]a=3\sqrt{2}[/tex] e [tex]b=2\sqrt{3}[/tex] mede [tex]\sqrt{30} \, [/tex], o perímetro solicitado no problema é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{30}$} \, [/tex] unidades de comprimento.
