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Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Qual é o número de três algarismos tal que, acrescentando-se um algarismo [tex]3[/tex] antes da sua centena e um algarismo [tex]3[/tex] após a sua unidade, ficará aumentado de [tex]31.308[/tex] unidades?
Solução
Sejam [tex]a \, , \, b \, , \, c[/tex] os algarismos do número [tex]n[/tex] ao qual iremos acrescentar um algarismo [tex]3[/tex] antes da sua unidade e outro algarismo [tex]3[/tex] após a sua centena e [tex]m[/tex] o número resultante dos dois acréscimos. Assim:
- [tex]\boxed{n=abc} \, \, \, [/tex] , [tex] \, \, \, \boxed{m=3abc3} \, \, \, [/tex] e [tex] \, \, \, \boxed{m=n+31308}[/tex].
Vamos efetuar a conta [tex]m=n+31308[/tex]:
| Primeira etapa: | |
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[tex]\qquad \begin{array}{c c c c c c} 3 & 1 & 3 & 0 & 8 & +\\ & & a & b & c & \\ \hline 3 & a & b & c & 3 & \end{array}[/tex] |
Na coluna das unidades, vamos analisar as unidades da soma [tex]8+c=3[/tex].
O único número entre [tex]8[/tex] e [tex]17[/tex] que termina em [tex]3[/tex] é o [tex]13[/tex]; logo [tex]8+c=13[/tex] e, consequentemente, [tex]c=5[/tex]. |
| Segunda etapa: | |
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[tex]\qquad \begin{array}{c c c c c c} 3 & 1 & 3 & \cancel{0}^1 & 8 & +\\ & & a & b & 5 & \\ \hline 3 & a & b & 5 & 3 & \end{array}[/tex] |
Na coluna das dezenas, vamos analisar as unidades da soma [tex]1+b=5[/tex].
O único número entre [tex]1[/tex] e [tex]10[/tex] que termina em [tex]5[/tex] é o próprio [tex]5[/tex]; logo [tex] 1+b=5[/tex] e, consequentemente, [tex]b=4[/tex]. |
| Terceira etapa: | |
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[tex]\qquad \begin{array}{c c c c c c} 3 & 1 & 3 & 0 & 8 & +\\ & & a & 4 & 5 & \\ \hline 3 & a & 4 & 5 & 3 & \end{array}[/tex] |
Na coluna das centenas, vamos analisar as unidades da soma [tex]3+a=4[/tex].
O único número entre [tex]3[/tex] e [tex]12[/tex] que termina em [tex]4[/tex] é o próprio [tex]4[/tex]; logo [tex] 3+a=4[/tex] e, consequentemente, [tex]a=1[/tex]. |
Finalizamos, então, a nossa conta:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{c c c c c c}
3 & 1 & 3 & 0 & 8 & +\\
& & 1 & 4 & 5 & \\
\hline
3 & 1 & 4 & 5 & 3 &
\end{array}[/tex]
e concluímos que [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=1$} \, [/tex], [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$b=4$} \, [/tex] e [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$c=5$} \, [/tex].
Portanto, o número em questão é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=145$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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