Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] e [tex]d[/tex] quatro números em progressão geométrica, nessa ordem.
Prove que [tex](b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 = (a – d)^2[/tex].
Solução
Seja [tex]q[/tex] a razão da progressão geométrica em questão.
Suponha, inicialmente, que a razão [tex]q[/tex] e o primeiro termo [tex]a[/tex] são não nulos; assim, da definição de progressão geométrica temos que:
[tex]\qquad q = \dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b} = \dfrac{d}{c}[/tex].
Igualando duas a duas essas frações, obtemos [tex]\boxed{b^2 = ac}[/tex]; [tex]\boxed{c^2 = bd}[/tex] e [tex]\boxed{bc = ad}. \quad \textcolor{#800000}{^{(*)}}[/tex]
Partindo da expressão [tex](b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2[/tex] obtemos:
[tex]\quad \begin{align*}(b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 &= b^2 -2bc + c^2 + c^2 – 2ac + a^2 + d^2 -2db + b^2\\
&= b^2 – 2ad + c^2 + c^2 – 2b^2 + a^2 + d^2 – 2c^2 + b^2\\
&= – 2ad + a^2 + d^2\\
&= (a – d)^2 \end{align*}[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{^{(*)}}[/tex]Observe que essas três igualdades continuam válidas, se [tex]q = 0[/tex] ou [tex]a = 0[/tex]; dessa forma, a restrição inicial de que [tex]q \, [/tex] e [tex] \, a[/tex] são não nulos não compromete a generalidade do resultado demonstrado:
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(b – c)^2 + (c – a)^2 + (d – b)^2 = (a – d)^2$}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.