Problema
Em um encontro de trinta pessoas, existem vinte pessoas conhecidas entre si e dez pessoas que não conhecem qualquer pessoa do encontro. Duas pessoas que se conhecem cumprimentam-se com um abraço, enquanto duas pessoas que não se conhecem cumprimentam-se com um aperto de mãos.
Quantos apertos de mãos ocorrerão neste encontro?
Solução 1
(Indicada a partir do 2º ano do E. M.)
- Primeiramente veja que ocorrerão [tex]\boxed{\binom{30}{2}=435}[/tex] abraços ou apertos de mão, pois essas são todas as combinações possíveis das pessoas do encontro.
Assim, se descobrirmos quantos abraços aconteceram, podemos descontar esse número do total de [tex]435[/tex] abraços ou apertos de mão para obtermos o número de apertos de mão.
- Veja que, dentre as pessoas que estavam no evento, apenas as que se conhecem se abraçam. Assim, o número de abraços possíveis é dado por [tex]\boxed{\binom{20}{2}=190}[/tex].
Com isso, o número de apertos de mão foi [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$435-190 = 245$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicada a partir do 9º ano do E. F.)
Se são [tex]30[/tex] pessoas e uma cumprimentará a outra de alguma forma, ocorrerão [tex](30\cdot29)\div2=435[/tex] cumprimentos, já que cada uma das [tex]30[/tex] pessoas cumprimentará as outras [tex]29[/tex]; só que temos que dividir por [tex]2[/tex], pois o mesmo aperto de mão/abraço está sendo contado duas vezes (por exemplo, se A abraça B, B abraça A).
E, se [tex]20[/tex] pessoas se conhecem entre si, haverá [tex](20\cdot19)\div2=190[/tex] abraços, o resto serão todos apertos de mão.
Logo concluímos que ocorrerão [tex]435-190=245[/tex] apertos de mão.
Solução elaborada pelo COM 1uik.
Solução 3
(Indicada a partir do 9º ano do E. F.)
No total, há trinta pessoas. Como vinte pessoas se conhecem entre si, elas vão se cumprimentar com abraços. As outras dez não conhecem ninguém, então terão que cumprimentar a todos com apertos de mão. Tendo em mente esse raciocínio, analisemos o que ocorrerá com as dez pessoas:
- a primeira pessoa irá cumprimentar [tex]29[/tex] pessoas com apertos de mão;
- a segunda irá cumprimentar mais [tex]28[/tex] pessoas, pois seu cumprimento com a primeira pessoa já está incluído no primeiro cálculo;
- a terceira pessoa irá cumprimentar mais [tex]27[/tex] pessoas, pois os cumprimentos com as duas primeiras pessoas já estão incluídos nos dois primeiros cálculos;
- e assim por diante, até que chegue a décima pessoa.
Logo, concluímos que o número de apertos de mão ocorridos neste encontro é dado por:
[tex]\qquad \boxed{29+28+27+26+25+24+23+22+21+20=245}[/tex].
Solução elaborada pelo COM DELTONAUTAS , com contribuições dos Moderadores do Blog.