Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Determine todos os inteiros positivos que, na divisão por 7, deixam um quociente igual ao resto.
Solução 1
Seja [tex]x[/tex] um inteiro positivo que, na divisão por [tex]7[/tex], apresenta [tex]q[/tex] como resto e quociente.
Deste modo
[tex]\qquad \boxed{x = 7q + q = 8q}[/tex],
ou seja, [tex]x[/tex] é múltiplo de [tex]8[/tex].
Sendo [tex]q[/tex] resto de uma divisão por [tex]7[/tex], temos [tex]0 \leq q \leq 6[/tex], entretanto, devemos ter [tex]q \neq 0[/tex], caso contrário, teríamos [tex]x = 0[/tex].
Atribuindo os possíveis valores de [tex]q[/tex], encontramos que os números procurados são [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8, \,16,\,24,\,32,\,40\, \text{e}\,48$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
- Primeiramente temos que ter em mente que os restos possíveis na divisão por [tex]7[/tex] são [tex]0, 1, 2, 3, 4, 5[/tex] e [tex]6[/tex].
Porém, se o resto for [tex]0[/tex], o quociente terá que ser igual a [tex]0[/tex]. Isso implica que o inteiro positivo seja [tex]0[/tex], o que é um absurdo! - Pelo algoritmo de Euclides temos que [tex]x=wy+z[/tex] sendo [tex]x[/tex] o dividendo, [tex]w[/tex] o divisor, [tex]y[/tex] o quociente e [tex]z[/tex] o resto. No nosso caso, o divisor é igual a [tex]7[/tex] e o quociente igual ao resto ([tex]y=z[/tex]), ficando então com [tex]x=7y+y=8y[/tex].
Sabendo que [tex]y[/tex] vai de [tex]1[/tex] até [tex]6[/tex], concluímos que os valores de [tex]x[/tex] são os seis primeiros múltiplos positivos de [tex]8[/tex], em outras palavras, [tex]x= 8, 16, 24, 32, 40, 48[/tex].
Solução elaborada pelo Clube 1uik .
Participou da discussão o Clube: 1uik.