Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Os alunos dos Clubes de Matemática se uniram para arrecadar alimentos para uma cidade em situação de Calamidade Pública. Estes alimentos serão divididos em cestas básicas para doação, com as seguintes condições:
- deve-se montar o maior número possível de cestas,
- não devem sobrar alimentos,
- as quantidades de cada tipo de alimento têm que ser iguais para todas as cestas.
Ao fim do processo, foram arrecadados [tex]200[/tex] pacotes de feijão, [tex]120[/tex] pacotes de açúcar, [tex]280[/tex] pacotes de arroz, [tex]240[/tex] pacotes de fubá e [tex]320[/tex] pacotes de macarrão.
Segundo as condições de montagem das cestas, determine o número de cestas a serem preparadas e as quantidades dos alimentos que cada uma conterá.
Solução 1
Utilizando a fatoração em números primos, encontramos:
[tex] \qquad 200=2^3\times 5^2[/tex],
[tex] \qquad120=2^3\times3\times5[/tex],
[tex] \qquad280=2^3\times5\times7[/tex],
[tex] \qquad240=2^4\times3\times5[/tex],
[tex] \qquad320=2^6\times 5[/tex],
e dessa forma encontramos o máximo divisor comum dos números supracitados como:
- [tex]mdc(200, 120,280,240,320)=2^3\times5=40[/tex].
Assim, o número máximo de cestas básicas atendendo às condições do problema seria [tex]40[/tex] e cada cesta básica conteria:
- Feijão: [tex]\frac{200}{40}=5[/tex] pacotes;
- Açúcar: [tex]\frac{120}{40}=3[/tex] pacotes;
- Arroz: [tex]\frac{280}{40}=7[/tex] pacotes;
- Fubá: [tex]\frac{240}{40}=6[/tex] pacotes;
- Macarrão: [tex]\frac{320}{40}=8[/tex] pacotes.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Visto que as cestas devem ser idênticas, os alimentos devem ser divididos pela quantidade de cestas. Pede-se o maior número possível de cestas. Assim, devemos encontrar o maior número que divida simultaneamente as quantidades de cada alimento. Faz-se isso calculando o [tex]MDC(200, 120, 280, 240, 320)[/tex].
Sabe-se que [tex]MDC(ab, ac) = a\cdot MDC(b, c)[/tex], portanto:
- [tex]\begin{align*} MDC(200, 120, 280, 240, 320)&= 10\cdot MDC(20, 12, 28, 24, 32) \\
&= 40\cdot MDC(5, 3, 7, 6, 8) = 40.\end{align*}[/tex]
Serão produzidas, então, [tex]40[/tex] cestas, cada uma com [tex]5[/tex] pacotes de feijão, [tex]3[/tex] de açúcar, [tex]7[/tex] de arroz, [tex]6[/tex] de fubá e [tex]8[/tex] de macarrão.
Solução elaborada pelo Clube Paralelo 38 .