Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Considere em um plano [tex]21[/tex] pontos tais que três deles nunca são colineares. Quantos triângulos diferentes com vértices em três destes pontos podemos formar?
Solução 1
Para se ter um triângulo precisamos escolher os seus três vértices.
Como não podemos escolher o mesmo vértice mais de uma vez, então o número de combinações que podemos fazer com esses [tex]21[/tex] pontos é: [tex]21\cdot 20\cdot19=7980[/tex].
Mas se pararmos aí teremos contado cada triângulo mais de uma vez.
Assim, quantas vezes contamos cada triângulo?
A resposta é [tex]6[/tex], pois no cálculo anterior estávamos considerando a ordem de escolha dos pontos como sendo algo importante. Para sermos mais diretos, estávamos considerando que ABC , ACB, BAC, BCA, CAB e CBA seriam triângulos diferentes, sendo os pontos A, B e C vértices do triângulo.
Sendo assim, o número real de triângulos é [tex]\dfrac{7980}{6}= 1330.[/tex]
Solução enviada pelo Clube Aprendizes dos Números.
Solução 2
Temos [tex]21[/tex] pontos.
Sabemos que para formar um triângulo são necessários três pontos.
Dessa forma só precisamos escolher três pontos em [tex]21[/tex] .
Teremos então:
[tex]\qquad \begin{pmatrix} 21 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac {21!}{3! \times 18!} = 1330.\\
[/tex]
Logo, são 1330 triângulos diferentes.
Solução enviada pelo Clube As Incógnitas da Matemática.
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Aprendizes dos Números; As Incógnitas da Matemática.