.Probleminha: O caramujo e o poço

Problema

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O gavião caramujeiro recebe esse nome por se alimentar quase exclusivamente de caramujos, podendo também caçar caranguejos de água doce quando a oferta de alimento é reduzida. 

(Fonte: http://www.avesderapinabrasil.com/rostrhamus_sociabilis.htm)

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Um caramujo conseguiu escapar de um gavião caramujeiro, mas caiu em um poço de 19 metros de profundidade. Depois de recobrar-se da queda durante a noite, ele começa sua subida no início do dia seguinte. Se durante o dia o caramujo sobe quatro metros, mas durante a noite escorrega um metro e meio, quanto tempo ele levará para sair do poço?

Imagem: hridayamblogspostcom

Solução 1
(Indicada a partir do 6º ano do E. F.)

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Analisando dia a dia o que acontece com a escalada do caramujo, podemos observar que:

• Deslocamento do Dia 1: 4,0 – 1,5 = 2,5 metros;
• Deslocamento do Dia 2: 2,5 + 4,0 – 1,5 = 5,0 metros;
• Deslocamento do Dia 3: 5,0 + 4,0 – 1,5 = 7,5 metros;
• Deslocamento do Dia 4: 7,5 + 4,0 – 1,5 = 10,0 metros;
• Deslocamento do Dia 5: 10,0 + 4,0 – 1,5 = 12,5 metros;
• Deslocamento do Dia 6: 12,5 + 4,0 – 1,5 = 15,0 metros;
• Deslocamento do Dia 7: 15,0 + 4,0 = 19,0 metros.

O caracol consegue sair do poço ao final do sétimo dia. Ao chegar ao topo, o caramujo não escorrega durante a noite.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2
(Indicada a partir do 7º ano do E. F.)

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O último deslocamento é uma subida que deve ser maior do [tex]1,5\,m[/tex] (caso contrário ele teria atingido o topo no dia anterior) e menor do que ou igual a [tex]4\,m[/tex] (caso contrário não seria o último deslocamento). Indicando por [tex]d[/tex] o comprimento do último deslocamento, temos:
[tex]\qquad 1,5 \lt d \leq 4\,\,\\
\qquad -1,5 \gt-d \geq -4 \\
\qquad 19-1,5 \gt 19-d \geq 19-4 \\
\qquad 17,5 \gt 19-d \geq 15[/tex]
sendo [tex]19-d[/tex] a altura atingida no final do penúltimo dia.
Seja [tex]n[/tex] o número de dias necessários para sair do poço. Pelo que foi descrito antes, temos que ao final do penúltimo dia a altura atingida pelo caramujo está entre [tex]15\,m[/tex] e [tex]17,5\,m[/tex]. Além disso, a cada dia completo sobe-se [tex]2,5\,m[/tex], ou seja, [tex]19-d = 2,5 \cdot (n-1)[/tex].
Assim, segue que:
[tex]\qquad 15 \leq 2,5 \cdot (n-1) \lt 17,5[/tex]
[tex]\qquad 6 \leq n-1 \lt 7[/tex]
[tex]\qquad 7 \leq n \lt 8.[/tex]
Como [tex]n[/tex] é inteiro positivo, temos [tex]\boxed{n=7}.[/tex]

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.