Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Francimar descobriu que adora números que são quadrados perfeitos, então ele resolveu explorar as propriedades desse tipo de número.
Primeiro, ele escreveu os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]21[/tex] em uma folha de papel. Agora, quer apagar alguns deles de modo que o resultado do produto dos números restantes seja um quadrado perfeito.
(a) Mostre que, para Francimar conseguir seu objetivo, então necessariamente os números [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], [tex]17[/tex] e [tex]19[/tex] devem estar entre os que ele deve apagar.
(b) Qual é a menor quantidade de números que Francimar deve apagar para atingir seu objetivo?
Solução
(a) Observe que, se Francimar decidir não apagar o número [tex]11[/tex], por exemplo, então o produto dos números não apagados será da forma [tex]P =11 \times N[/tex].
Como [tex]11[/tex] é o único múltiplo de [tex]11[/tex] entre os números escritos por Francimar, então [tex]N[/tex] é um produto de números não divisíveis por [tex]11[/tex] e, portanto, [tex]N[/tex] não é múltiplo de [tex]11[/tex].
- Dessa forma, [tex]P[/tex] seria múltiplo de [tex]11[/tex], mas não seria múltiplo de [tex]11^2[/tex], e, consequentemente, [tex]P[/tex] não seria quadrado perfeito.
De modo análogo, podemos ver que Francimar também deve apagar os números [tex]13[/tex], [tex]17[/tex] e [tex]19[/tex].
(b) Se Francimar apagar somente os números [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], [tex]17[/tex] e [tex]19[/tex], o produto dos [tex]17[/tex] números restantes seria
[tex]\qquad P=1 \times 2 \times 3\times \dots \times 10 \times 12 \times 14 \times 15 \times 16 \times 18 \times 20 \times 21.[/tex]
Ao trabalharmos com a fatoração em números primos do número [tex]P[/tex] acima, encontramos
[tex]\qquad P=2^{18}\times3^9\times5^4\times7^3[/tex].
Perceba que esse número não é um quadrado perfeito (por quê?); então Francimar precisa apagar pelo menos mais um número.
De fato, perceba que na fatoração acima os expoentes dos números [tex]3[/tex] e [tex]7[/tex] são ímpares e, para termos um quadrado perfeito, todos os expoentes deveriam ser pares.
Assim, é simples ver que, se Francimar apagar pelo menos o número [tex]21 = 3 \times 7[/tex], ele conseguirá o seu objetivo.
Portanto, a menor quantidade de números que Francimar deve apagar é cinco: [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], [tex]17[/tex], [tex]19[/tex] e [tex]21[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.