.Problema: O algarismo misterioso

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

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Os algarismos [tex]1, \, 2, \, 3, \, 4[/tex] e [tex]5[/tex] são usados, uma vez cada um, para escrever um número de cinco dígitos, aqui representado por [tex]ABCDE[/tex], com cada letra representando um dígito.
Se olharmos apenas para os três dígitos mais à esquerda, temos o número [tex]ABC[/tex], e este é divisível por [tex]4[/tex]. De forma semelhante, o número [tex]BCD [/tex] é divisível por [tex]5 [/tex] e o número [tex]CDE [/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
Qual é o algarismo [tex]A[/tex]?

Solução

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Analisemos os algarismos [tex] A, \, B, \, C, \, D, \, E[/tex] do número em questão.

• Comecemos observando que, se o número [tex]BCD[/tex] é divisível por [tex]5[/tex], então [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D=5$} \, [/tex], já que um número é divisível por [tex]5[/tex] se, e somente se, terminar em [tex]0[/tex] ou em [tex]5[/tex].
• Por ser divisível por [tex]4[/tex], observamos que [tex]ABC[/tex] deve ser par, então [tex]C[/tex] deve ser [tex]2[/tex] ou [tex]4[/tex].
• Observe que, se [tex]C=2[/tex], então o número [tex]CDE[/tex] já estaria quase determinado: [tex]25E[/tex].
  Mas sabemos que [tex]CDE[/tex] é divisível por [tex]3[/tex] e que um número é divisível por [tex]3[/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por [tex]3[/tex]. Logo [tex]2+5+E=7+E[/tex] seria divisível por [tex]3[/tex] e, dentro das nossas possibilidades de dígitos, [tex]E[/tex] deveria ser [tex]2[/tex] ou [tex]5[/tex], dígitos que já teriam sido utilizados.
• Dessa forma, como [tex]C[/tex] não pode ser [tex]2[/tex], então [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$C=4$} \, [/tex].
• Voltando à hipótese de que [tex]CDE[/tex] é divisível por [tex]3[/tex] e, consequentemente, [tex]C+D+E=4+5+E=9+E[/tex] é divisível por [tex]3[/tex], vemos que a única possibilidade é termos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=3$} \, [/tex].
• Agora, só restam os algarismos [tex]1[/tex] e [tex]2[/tex] como opções para [tex]B[/tex]. Mas lembre-se de que [tex]ABC[/tex] é divisível por [tex]4[/tex], logo [tex]BC[/tex] deve ser divisível por [tex]4[/tex].
  No entanto, [tex]BC=14[/tex] não é divisível por [tex]4[/tex], enquanto que [tex]BC=24[/tex] o é. Isso significa que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$B=2$} \, [/tex].

Então, sobra como alternativa para [tex]A[/tex] ser o algarismo [tex]1[/tex], portanto a resposta do problema é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=1$} \, [/tex].

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.