Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Algo estranho aconteceu e fez com que alguns animais agissem de modo estranho:
- Numa certa região, [tex]20\%[/tex] dos gatos pensam que são cachorros e [tex]25\%[/tex] dos cachorros pensam que são gatos.
Um veterinário da região resolveu, então, testar todos os gatos e cachorros e descobriu que [tex]30\%[/tex] do total de animais pensam que são gatos.
Qual é a proporção de cachorros entre os animais testados?
Lembrete
Muitas situações que envolvem cálculos de porcentagem podem ser resolvidas utilizando-se apenas “regra de três simples”. Uma dessas situações é quando conhecemos o valor total [tex]T[/tex] de uma grandeza e queremos o valor [tex]x[/tex] correspondente a uma porcentagem [tex]p\%[/tex] desse total. Nesse caso [tex]T[/tex] corresponderá a [tex]100\% \, [/tex] e “armando” uma regra de três simples teremos:
| [tex]T[/tex] | ————————————– | [tex]100\%[/tex] |
| [tex]x[/tex] | ————————————– | [tex]p\%[/tex] |
Assim, resulta que [tex]\boxed{T\cdot p = x \cdot 100}[/tex], ou seja, [tex]\boxed{x= \dfrac{p\cdot T}{100}}[/tex].
(Para aprender um pouco mais sobre porcentagem, clique AQUI)
Solução
Sejam [tex]C[/tex] e [tex]G[/tex], respectivamente, o número de cachorros e o número de gatos da região.
Sabemos que [tex]20\%[/tex] dos gatos pensam que são cachorros; assim:
- o número de gatos que pensam que são cachorros é [tex]\dfrac{20G}{100}[/tex] e o número de gatos que pensam que são gatos é [tex]\dfrac{80G}{100}[/tex].
Analogamente, como [tex]25\%[/tex] dos cachorros pensam que são gatos, temos que:
- o número de cachorros que pensam que são gatos é [tex]\dfrac{25C}{100}[/tex].
Portanto, o número total de gatos e cachorros da região que pensam que são gatos é [tex]\boxed{\dfrac{80G+25C}{100}}[/tex].
A partir das informações do veterinário, temos que [tex]30\%[/tex] do total de animais testados pensam que são gatos, assim :
- o número de animais testados pelo veterinário que pensam que são gatos é [tex]\boxed{\dfrac{30(C+G)}{100}}[/tex].
Comparando as informações, e lembrando que o veterinário testou todos os gatos e cachorros da região, resulta que:
[tex]\qquad \dfrac{80G+25C}{100}= \dfrac{30(C+G)}{100}[/tex],
o que nos fornece a igualdade [tex]10G=C[/tex].
Como o total de animais é [tex]C+G[/tex], a igualdade [tex]10G=C[/tex] implica que a proporção de gatos na região é dada por:
[tex]\qquad \dfrac{G}{C+G}=\dfrac{G}{10G+G}=\dfrac{G}{11G}[/tex].
Assim, a proporção de gatos entre os animais testados é [tex]\dfrac{1}{11}[/tex] e a proporção de cachorros é dada por [tex]\dfrac{10}{11}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.