.Problema: Casas Vizinhas

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Numa quadra que ainda não possui construções, serão construídas seis casas consecutivas de um mesmo lado da rua. Cada uma destas casas poderá ser feita apenas com paredes de tijolo ou apenas com paredes de madeira.
Por medida de segurança contra incêndios, decidiu-se que duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras pode-se planejar a disposição dessas casas?

Solução

Perceba inicialmente que não podemos ter mais do que três casas de madeira, caso contrário teríamos casas de madeira vizinhas.

Resta, portanto, analisar os seguintes casos:

Três casas de tijolos e três casas de madeira:
Devemos usar duas casas de tijolos para separar as de madeira: [tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}[/tex].
A terceira casa de tijolo pode ser posicionada de quatro modos distintos:

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}\qquad[/tex]

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}\qquad[/tex]

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}\qquad[/tex]

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex].

Quatro casas de tijolos e duas casas de madeira:
Ao colocarmos as quatro casas de tijolos numa fila imaginária, criamos cinco espaços, dois dos quais serão preenchidos com casas de madeira e os outros espaços serão eliminados: [tex]\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_[/tex].
Há dez modos de posicionar as duas casas de madeira:

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex] {\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}.[/tex]

Cinco casas de tijolos e uma casa de madeira:
Ao colocarmos as cinco casas de tijolos numa fila imaginária, teremos seis espaços [tex]\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_{\color{#800000}\textbf{T}}\_[/tex], em que um deles será preenchido com a casa de madeira e os outros espaços serão eliminados.
Há seis modos de se fazer isso:

[tex]{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex]

[tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#B8860B}\textbf{M}}[/tex]

Seis casas de tijolos:
Só há a disposição [tex]{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}{\color{#800000}\textbf{T}}[/tex] para as casas.

Deste modo, há [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4 + 10 + 6 + 1 = 21$}[/tex] maneiras de planejar a disposição dessas casas.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.