Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Considere a sequência ordenada das letras clubesmatclubesmatclubesmat…, em que a posição 1 é ocupada pela letra c, a posição 2 pela letra l e assim sucessivamente.
Seguindo esse padrão, qual a letra que ocupa a posição 2016?
Solução 1
Em “[tex]clubesmat[/tex]” há nove letras e ao dar continuidade à sequência “[tex]clubesmatclubesmat[/tex]…” notamos que as próximas letras
[tex]c, \, l, \, u, \, b, \, e, \, s, \, m, \, a[/tex] sempre ocuparão a posição de um múltiplo de [tex]9[/tex] mais, respectivamente, [tex]1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8[/tex] até chegar novamente na letra “[tex]t[/tex]”, que ocupará a posição do próximo múltiplo de [tex]9[/tex].
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline &c&l&u&b&e&s&m&a\\
\hline \text{múltiplo de }9+{\color{#800000}(\underline{ \, \, \, })}&{\color{#800000}(\underline{1})}&{\color{#800000}(\underline{2})}&{\color{#800000}(\underline{3})}&{\color{#800000}(\underline{4})}&{\color{#800000}(\underline{5})}&{\color{#800000}(\underline{6})}&{\color{#800000}(\underline{7})}&{\color{#800000}(\underline{8})}\\
\hline
\end{array}[/tex]
Desse modo, para saber a letra que ocupará a posição [tex]2016[/tex], basta dividir esse número por nove e analisar o seu resto.
| [tex]2016[/tex] | [tex]9[/tex] |
| [tex]0[/tex] | [tex]224[/tex] |
O resto obtido na divisão é [tex]0[/tex]; assim [tex]2016[/tex] é um múltiplo de nove e consequentemente a letra “[tex]t[/tex]” será a letra da posição [tex]2016[/tex].
Solução elaborada pelo Clube 1uik, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 2
Observe que:
- A palavra clubesmat contém nove letras;
- 2016 é um múltiplo de nove.
Portanto, a letra “t” ocupa o espaço 2016, pois se dividirmos o número 2016 por 9 (que é o número de letras da palavra clubesmat) a resposta é 224, ou seja, essa palavra se repete 224 vezes.
Solução elaborada pelo Clube Matemáticos do Érico, com contribuições dos Moderadores do Blog.