.Probleminha: Menor Natural

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

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Determine o menor número natural que dividido por [tex]2[/tex] deixa resto [tex]1[/tex], dividido por [tex]3[/tex] deixa resto [tex]2[/tex], dividido por [tex]4[/tex] deixa resto [tex]3[/tex], dividido por [tex]5[/tex] deixa resto [tex]4[/tex], dividido por [tex]6[/tex] deixa resto [tex]5[/tex] e dividido por [tex]7[/tex] deixa resto [tex]0[/tex].

Solução 1

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Seja [tex]x[/tex] o número que estamos procurando.
Observe que [tex]x[/tex] é divisível por [tex]7[/tex] e que o resto de cada uma das divisões de [tex]x[/tex] por [tex]2, 3, 4, 5, 6[/tex] é sempre uma unidade a menos do que o divisor. Isso significa que o sucessor de [tex]x[/tex], ou seja, [tex]x+1[/tex], é divisível por [tex]2, 3, 4, 5, 6[/tex].
Assim, o menor valor possível para [tex]x+1[/tex] é [tex]4\times5\times 6=120[/tex] (pense um pouquinho no porquê…).
Dessa forma, [tex]x=120-1=119[/tex] é o número que estamos procurando, que por sua vez é divisível por [tex]7[/tex], como queríamos.

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olução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

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Considerando o número natural que buscamos como [tex]x[/tex], temos que:
[tex]\qquad \begin{align*}x=2a+1\\
x=3b+2\\
x=4c+3\\
x=5d+4\\
x=6e+5\\
x=7f+0 \end{align*}\qquad[/tex] com [tex]a, b, c, d, e, f[/tex] números naturais.
Dessa forma, observamos que [tex]x+1[/tex] é múltiplo de [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]5[/tex] e [tex]6[/tex].
Mas, como devemos encontrar o menor natural, calculamos o [tex]mmc[/tex] de [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]5[/tex] e [tex]6[/tex] e obtemos [tex]60[/tex] como resultado. Mas perceba que se [tex]x + 1 = 60[/tex], então [tex]x[/tex] teria que ser [tex]59[/tex], mas isso seria um absurdo pois [tex]x[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]7[/tex].
Como [tex]x + 1[/tex] deve ser múltiplo de [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]5[/tex] e [tex]6[/tex], vamos apenas multiplicar [tex]60[/tex] por [tex]2[/tex] (menor primo); assim obtemos [tex]120[/tex] como [tex]x + 1[/tex]. Veja que [tex]120 – 1 = 119[/tex], que é um múltiplo de [tex]7[/tex].
Logo, [tex]x[/tex] é igual a [tex]119[/tex].

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Solução elaborada pelo Clube 1uik, com contribuições dos Moderadores do Blog.

Solução 3

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Seja [tex]N[/tex] o número procurado e note que [tex]N+1[/tex] é múltiplo de [tex]2, 3, 4, 5[/tex] e [tex]6[/tex] ao mesmo tempo.
Como [tex]MMC(2, 3, 4, 5, 6)=60[/tex], então [tex]N+1=60\cdot k[/tex], com [tex]k[/tex] inteiro e maior que [tex]0[/tex].
Mas também devemos ter [tex]N=60\cdot k–1[/tex] divisível por [tex]7[/tex].
Testando valores para [tex]k[/tex]:

• [tex] k=1, \, N=60–1=59[/tex], mas [tex]7[/tex] não divide [tex]59[/tex];
• [tex] k=2, \, N=120–1=119=7\cdot 17[/tex], sendo este o menor valor de [tex]N[/tex] possível.

Desta forma, o número procurado é [tex]119[/tex].

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Solução elaborada pelo Clube Clube Paralelo 38, com contribuições dos Moderadores do Blog.