Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Qual o algarismo das unidades do resultado da adição [tex]1! + 2! + 3! + \ldots + 100![/tex] ?
Solução 1
Perceba que toda multiplicação de inteiros que possui um fator [tex]2[/tex] e um fator [tex]5[/tex] tem como produto um múltiplo de [tex]10[/tex].
- Portanto, são múltiplos de [tex]10[/tex] todos os números [tex]n![/tex], com [tex]n \geq 5[/tex].
Deste modo, temos
[tex] 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + \ldots + 100! =[/tex]
[tex]\qquad =\left(1! + 2! + 3! + 4! \right)+ \left(5! + 6! + \ldots + 100!\right)[/tex]
[tex]\qquad =\left(1! + 2! + 3! + 4! \right)+ 10\alpha[/tex]
[tex]\qquad = \left(1 + 2 + 6 + 24 \right)+ 10\alpha [/tex]
[tex]\qquad = 33+10\alpha[/tex]
[tex]\qquad = 10 (\alpha + 3) + 3[/tex], com [tex]\alpha \in \mathbb{Z}[/tex].
Logo, o algarismo das unidades da soma é [tex]3[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Observe que, a partir do fatorial de [tex]5[/tex], todos os fatoriais, ou seja, [tex]5! , 6! , 7! , 8! ,9!,\ldots, 100![/tex] terão fatores [tex]5[/tex] e [tex]2[/tex]. Isto significa que todos serão múltiplos de [tex]10[/tex].
Como todos os múltiplos de [tex]10[/tex] possuem unidade igual a [tex]0[/tex], então a unidade da soma [tex]5! + 6! + 7! + 8! + 9! + \ldots + 100![/tex] será [tex]0[/tex]. Assim, o que importa é a unidade de [tex]1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33[/tex].
Desse modo, o algarismo das unidades de [tex]1! + 2! + 3! + \ldots+ 100![/tex] é [tex]3[/tex].
Solução elaborada pelo Clube 1uik.
Participaram da discussão os Clubes: 1uik; ESQUADRÃO MATEMÁTICO.