Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Na figura, temos um círculo de diâmetro [tex]\overline{AB}[/tex] que tangencia no ponto [tex]T[/tex] a reta [tex]s[/tex] que contém o diâmetro do semicírculo de centro [tex]O[/tex]. Sendo [tex]\overline{AB}[/tex] também uma corda do semicírculo, [tex]C[/tex] a interseção de [tex]s[/tex] com a reta [tex]\overleftrightarrow{AB}[/tex], [tex]OT = 2\, cm[/tex] e [tex]TC = 32\,cm[/tex], calcule a área do círculo.
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Um convite
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Solução
Seja [tex]D[/tex] o centro do círculo e [tex]r[/tex] seu raio.
A mediatriz de [tex]\overline{AB}[/tex] passa em [tex]O[/tex], já que [tex]O[/tex] equidista de [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]. Além disso o raio [tex]\overline{DT}[/tex] do círculo é perpendicular à reta tangente.
No triângulo retângulo [tex]ODC[/tex], usaremos a SEGUINTE relação métrica:
- o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Assim,
[tex]\qquad DT^2 = OT \cdot TC[/tex]
[tex]\qquad r^2 = 2 \cdot 32[/tex]
[tex]\qquad r^2 = 64[/tex]
e, portanto:
[tex]\qquad \boxed{\textbf{Área do círculo} = \pi r^2 = 64 \pi\,cm^2}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.