M_Sala de ajuda: Funções – Injetividade, sobrejetividade e bijetividade

Funções

Injetividade, sobrejetividade e bijetividade

Até o momento, vocês foram apresentados a cinco definições: função, função entre dois conjuntos, função injetora, função sobrejetora e função bijetora. Vamos relacionar a seguir essas definições, algumas com suas respectivas alternativas de enunciado.

✐ Uma função consiste de dois conjuntos não vazios [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] e uma lei, ou regra, [tex] \, \mapsto[/tex] que permite associar a cada elemento [tex]x \in A[/tex] um único elemento [tex]y \in B[/tex].

✐ Função é uma terna [tex]\left(A, \, B, \, \mapsto\right) [/tex], na qual [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são conjuntos não vazios e [tex] \, \mapsto[/tex] é uma regra que associa a cada elemento [tex]x \in A[/tex] um único elemento [tex]y \in B[/tex].

✐ Sejam [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] dois conjuntos não vazios. Uma função de [tex]A[/tex] em [tex]B[/tex] é uma regra [tex] \, \mapsto[/tex] que a cada elemento [tex]x \in A[/tex] associa um único elemento [tex]y \in B[/tex].

✐ Se [tex]f[/tex] é uma função definida nos conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], é usual utilizar a notação
[tex]\qquad f:A \rightarrow B\\
\qquad \quad \, \, x \mapsto y [/tex]
para indicá-la. Neste caso:
➤ o conjunto [tex]A[/tex] é dito o domínio da função [tex]f[/tex];
➤ o conjunto [tex]B[/tex] é dito o contradomínio da função [tex]f[/tex];
➤ o único elemento de [tex]B[/tex] associado a [tex]x[/tex] é denotado por [tex]f(x)[/tex] e é dito a imagem de [tex]x[/tex] pela [tex]f[/tex].

✐ Uma função [tex] f:A \rightarrow B [/tex] é dita injetiva (ou injetora) se a seguinte condição for satisfeita:
[tex]\qquad \qquad \forall \, x_1,x_2\in A, x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)[/tex].

✐ Uma função [tex] f:A \rightarrow B [/tex] é dita injetiva (ou injetora) se a seguinte condição for satisfeita:
[tex]\qquad \qquad \forall \, x_1,x_2\in A, f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1= x_2 [/tex].

✐ Uma função [tex] f:A \rightarrow B [/tex] é dita sobrejetiva (ou sobrejetora) se, para todo [tex]y\in B[/tex], existir um [tex]x\in A[/tex] tal que [tex]f(x)=y[/tex]; em símbolos:
[tex]\qquad \qquad \forall \, y\in B, \exists \, x\in A[/tex] tal que [tex]y=f(x)[/tex].

✐ Seja [tex] f:A \rightarrow B [/tex] uma função.
É usual definirmos como imagem da função [tex]f[/tex] o conjunto formado pelos elementos de [tex]B[/tex] que são imagens de algum elemento de [tex]A[/tex]. Esse conjunto é indicado por [tex]Im(f)[/tex]; assim:
[tex]\qquad \qquad Im(f)=\{f(x)\text{ tais que } x\in A \}[/tex].
fig040

A partir dessa definição podemos dizer que uma função [tex] f:A \rightarrow B [/tex] é sobrejetora se [tex]Im(f)=B[/tex].

✐ Uma função [tex] f:A \rightarrow B [/tex] é dita bijetiva (ou bijetora) se [tex]f[/tex] for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

Para ajudar na compreensão e no amadurecimento dos conceitos acima, apresentamos três vídeos.
O segundo e o terceiro vídeos trazem lá no finalzinho uma aplicação surpreendente de bijeção!

Bons estudos!

Funções

Vídeo disponibilizado pelo PROFMAT

Funções

Aula ministrada pelo professor Elon Lages Lima, um dos maiores matemáticos do Brasil.
O professor Elon faleceu recentemente; neste vídeo ele tinha 85 anos!

Números Cardinais e Funções Naturais

Aula ministrada pelo professor Eduardo Wagner, um primor de expositor!
Quem já foi a algum [tex]EH^2[/tex] com certeza vai se lembrar dele…

Vocês se lembram do comentário que fizemos lá na sala sobre fórmulas proposicionais?
Pois é, também não é raro dizer "a função [tex]f(x) = \cdots[/tex]", quando deveríamos dizer "a função [tex]f[/tex] definida por [tex]f(x) = \cdots[/tex]".
Igualmente isso não é muito relevante, se sabemos o que é uma função e que estamos cometendo um abuso, em nome da simplificação da linguagem.

Equipe COM – OBMEP