Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Determine o menor inteiro positivo tal que, quando o seu dígito mais à esquerda for removido, o número que resulta desta operação é [tex]\dfrac{1}{29}[/tex] do inteiro original.
Lembretes amigos
 |
(1) Sejam [tex]a, \, b, \, p[/tex] números naturais, com [tex]p[/tex] primo.
(2) Nenhum número da forma [tex]10^n[/tex], [tex]n[/tex] natural, é divisível por [tex]7[/tex]; pois, como [tex]10^n=(2⋅5)^n=2^n\cdot5^n[/tex], o número [tex]10^n[/tex] não possui o fator primo [tex]7[/tex] em sua decomposição em um produto de primos. |
Solução
Vamos à solução!
Suponha que o número original em questão seja dado por [tex]X=a_na_{n−1}\cdots a_1a_0[/tex], onde os [tex]a_i’s[/tex] são os dígitos do número e o primeiro dígito à esquerda, [tex]a_n[/tex], é diferente de zero. Com isso, o número criado a partir da operação de remover o dígito [tex]a_n[/tex] de [tex]X[/tex] é
[tex]\qquad Y=\xcancel{{\color{red}a_n}}a_{n−1}\cdots a_1a_0[/tex].
Assim, [tex]Y=a_{n−1}…a_1a_0[/tex] e, pela hipótese do problema, [tex]\boxed {X=29Y} \, \, {\color{#800000}(i)}[/tex].
Mas, observe que:
[tex]\quad X=a_na_{n−1}\cdots a_1a_0=\boxed{a_n 10^n+a_{n-1}10^{n-1}+ \cdots +a_ 1 10 + a_0} [/tex]
e
[tex]\quad Y=a_{n−1}\cdots a_1a_0=\boxed{a_{n-1}10^{n-1}+ \cdots +a_ 1 10 + a_0} [/tex],
logo
[tex]\quad X=a_n 10^n+\left[a_{n-1}10^{n-1}+ \cdots +a_ 1 10 + a_0 \right]=a_n10^n + Y[/tex]
e, dessa forma, [tex]\boxed{X=Y+a_n10^n} \, \, {\color{#800000}(ii)}[/tex].
De [tex]{\color{#800000}(i)}[/tex] e [tex]{\color{#800000}(ii)}[/tex], segue que [tex]Y + a_n 10^n = 29Y[/tex] e, portanto, [tex]\boxed{a_n 10^n = 28Y} \, \, {\color{#800000}(iii)}[/tex].
Perceba, agora, que o número [tex]28Y[/tex] é divisível por [tex]7[/tex]; logo, de [tex]{\color{#800000}(iii)}[/tex], segue que [tex]a_n \cdot 10^n[/tex] também o é. Mas veja que o número [tex]10^n[/tex] nunca será divisível por [tex]7[/tex], segundo o lembrete (2); portanto, como [tex]7[/tex] é primo, então [tex]a_n[/tex] deve ser divisível por [tex]7[/tex], graças ao lembrete (1). Sendo [tex]a_n[/tex] um dígito diferente de zero, a única possibilidade de [tex]a_n[/tex] ser divisível por [tex]7[/tex] é [tex]a_n=7[/tex].
Assim, de [tex]{\color{#800000}(iii)}[/tex], segue que [tex]7 \times 10^n=28Y[/tex], ou seja [tex]10^n=4Y \, \, {\color{#800000}(iv)}[/tex].
Pronto, já temos o suficiente, pois as igualdades [tex]{\color{#800000}(i)} \, [/tex] e [tex] \, {\color{#800000}(iv)}[/tex] bastam para determinarmos o menor inteiro positivo [tex]X[/tex] que satisfaz as condições do problema. Com efeito, a igualdade [tex]X=29Y[/tex] nos mostra que, para minimizarmos [tex]X[/tex], devemos minimizar [tex]Y[/tex]; e a igualdade [tex]10^n=4Y[/tex] nos mostra que, para minimizarmos [tex]Y[/tex], devemos encontrar o menor valor positivo de [tex]n[/tex] de modo que [tex]Y[/tex] seja inteiro positivo.
Então, vamos lá:
- note que substituindo [tex]n=0[/tex] ou [tex]n=1[/tex], a equação [tex]10^n=4Y[/tex] não fornece valores inteiros de [tex]Y[/tex]; assim [tex]n=2[/tex] e, consequentemente, [tex]Y=25[/tex];
- como [tex]Y=25[/tex], então [tex]X=29Y=29\times25=725[/tex].
De fato: [tex]\xcancel{{\color{red}7}}{\color{red}25}=25=\dfrac{1}{29}{\color{red}725}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.