Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Um trem viaja de uma certa cidade a outra sempre com velocidade constante.
Quando a viagem é feita com [tex]16[/tex] km/h a mais do que a velocidade original, o tempo gasto na viagem diminui em duas horas e meia. Quando a viagem é feita com [tex]5[/tex] km/h a menos do que a velocidade original, o tempo gasto na viagem aumenta em uma hora.
Qual a distância entre as cidades?
Lembrete amigo: Quando um objeto está em movimento, ele muda de posição ao longo do percurso. A velocidade desse objeto é definida levando-se em consideração o espaço que ele percorreu em um determinado intervalo de tempo, ou seja, velocidade é a grandeza que mede quão rápido um objeto se desloca.
Se conhecermos a extensão do percurso e o tempo gasto pelo objeto para percorrê-la, podemos dividir o espaço percorrido pelo tempo total de percurso: a esse quociente chamamos velocidade média do objeto. Dessa forma, se [tex]\Delta S[/tex] for o espaço percorrido por um objeto no intervalo de tempo [tex]\Delta T[/tex], a velocidade média do objeto nesse movimento é dada pela expressão: [tex]\boxed{{\color{#800000}v_m=\dfrac {\Delta S}{\Delta T}}}[/tex]
Solução
Se um objeto se movimenta com uma velocidade constante, o produto da velocidade pelo tempo de percurso é igual à distância por ele percorrida.
Assim, sendo [tex]d[/tex] quilômetros a distância entre as duas cidades, [tex]v \, km/h[/tex] a velocidade usual do trem e [tex]t[/tex] horas o tempo usual de percurso relativo a essa velocidade, então
[tex]\qquad \qquad \boxed{d=v\cdot t}. \qquad {\color{#800000}(i)}[/tex]
Mas, observe que a distância [tex]d[/tex] percorrida pelo trem é a distância entre as duas cidades e, portanto, é a mesma em qualquer das situações apresentadas no problema; logo:
- usando a afirmação de que, quando a viagem é feita com [tex]16[/tex] km/h a mais, o tempo de viagem diminui em duas horas e meia, podemos concluir que
[tex]\qquad \qquad\boxed{d=(v+16)\cdot (t-2,5)}; \qquad {\color{#800000}(ii)}[/tex] - usando a afirmação de que, quando a viagem é feita com [tex]5[/tex] km/h a menos, o tempo de viagem aumenta em uma hora, podemos concluir que
[tex]\qquad \qquad \boxed{d=(v-5)\cdot (t+1)}.\qquad {\color{#800000}(iii)}[/tex]
Dessa forma,
[tex]\qquad vt=(v+16)\cdot (t-2,5)\\
\qquad vt= vt -2,5v+16t-40 \\
\qquad \boxed{-2,5v+16t=40}; \qquad {\color{#800000}(I)}[/tex]
[tex]\qquad vt=(v-5)\cdot (t+1)\\
\qquad vt= vt +v-5t-5 \\
\qquad \boxed{v-5t=5}. \qquad {\color{#800000}(II)}[/tex]
Após resolver o sistema formado pelas equações [tex]{\color{#800000}(I)}[/tex] e [tex]{\color{#800000}(II)}[/tex], obtemos [tex]t=15[/tex] horas e [tex]v=80 \, km/h[/tex]. Logo, a distância entre as cidades é de [tex]v\cdot t=80\cdot 15=1200 \, km[/tex].
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