Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Uma criança brinca com um grande tabuleiro de xadrez [tex]8 \times 8[/tex] estendido no piso da sala de sua casa, como mostrado na figura, e uma grande quantidade de grãos de feijão. Ela coloca um grão na casa de número [tex]1[/tex], dois grãos na casa de número [tex]2[/tex], quatro grãos na casa de número [tex]3[/tex], oito grãos na casa de número [tex]4[/tex] e assim sucessivamente até a casa de número [tex]64[/tex].
Quantos grãos de feijão a criança terá colocado até a 10ª casa?
Solução 1
A criança colocará na primeira casa [tex]1[/tex] feijão e a partir dessa casa passará a colocar o dobro na próxima. Assim, podemos dizer que:
- na primeira casa ela colocará [tex]2^0[/tex] feijão;
- na segunda casa ela colocará [tex]2^1[/tex] feijões;
- na terceira casa ela colocará [tex]2^2[/tex] feijões;
- na quarta casa ela colocará [tex]2^3[/tex] feijões;
- na quinta casa ela colocará [tex]2^4[/tex] feijões;
- na sexta casa ela colocará [tex]2^5[/tex] feijões;
- na sétima casa ela colocará [tex]2^6[/tex] feijões;
- na oitava casa ela colocará [tex]2^7[/tex] feijões;
- na nona casa ela colocará [tex]2^8[/tex] feijões;
- na décima casa ela colocará [tex]2^9[/tex] feijões.
Dessa forma, a criança terá colocado
[tex]\quad 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9 =\\
\qquad \quad = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 =[/tex]
[tex] \qquad \quad =1023[/tex] feijões.
Solução elaborada pelo Clube 1uik.
Solução 2
A criança terá colocado, até a décima casa, 1023 feijões.
De fato, 1+1 é 2, por isso na segunda casa ela coloca 2 feijões. Também, 2+2= 4, por isso ela coloca 4 feijões na terceira casa. Continuando, 4+4=8, então na quarta casa ela colocará 8 feijões. Seguindo este pensamento, na décima casa ela colocará 512 feijões.
Somando todos os feijões das casas de 1 a 10, ela terá colocado, até a décima casa, 1023 feijões.
Solução elaborada pelo Clube LOKOS MATEMÁTICOS.
Para pensar. . .
No problema apareceu a soma
[tex]\qquad 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=1023[/tex].
Mas [tex]1023=1024-1=2^{10}-1[/tex], logo
[tex]\qquad \qquad \boxed{2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9=2^{10}-1}[/tex]
Será sempre verdade que [tex]\boxed{2^0+2^1+\cdots +2^{n-2}+2^{n-1}=2^n-1}[/tex]?
Para conhecer. . .
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Assistam ao vídeo A Lenda do Jogo de Xadrez |
Participaram da discussão os Clubes 1uik; ESQUADRÃO MATEMÁTICO; LOKOS MATEMÁTICOS; Os artméticos.