Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Escreva uma das raízes da equação [tex]8x^3 – 3x^2 – 3x – 1 = 0[/tex] na forma [tex]\dfrac{\sqrt[3]a + \sqrt[3]b + 1}{c}[/tex], com [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] inteiros positivos.
Solução
- [tex] (z+1)^3=z^3+3z^2+3z+1 \qquad [/tex] (I)
- [tex] z^3-t^3 = (z-t)(z^2+zt+t^2). \qquad [/tex] (II)
Para relembrar este e outros produtos notáveis, vocês podem conferir a Sala de Estudos Malabarismos Aritméticos e Algébricos.
Que tal começarmos por lá? Você sabe todos os produtos notáveis?
Então, vamos em frente para resolver o problema!
Veja que a nossa equação original
[tex]\qquad 8x^3 – 3x^2 – 3x – 1 = 0[/tex]
é equivalente à equação
[tex]\qquad 8x^3=3x^2+3x+1[/tex].
Somando [tex]x^3[/tex] dos dois lados, ficamos com
[tex]\qquad 9x^3 =x^3+3x^2+3x+1[/tex]
e isso nos dá
[tex]\qquad 9x^3=(x+1)^3[/tex], devido à identidade (I).
Então, segue que
[tex]\qquad x\sqrt[3]{9} = x+1[/tex].
Resolvendo esta equação para [tex]x[/tex], temos que
[tex]\qquad x(\sqrt[3]9-1)=1[/tex],
donde [tex] \boxed{x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}−1}}[/tex].
Vamos, agora, racionalizar o denominador [tex] \sqrt[3]{9}−1[/tex]. Para isso, observe que se fizermos [tex]z= \sqrt[3]{9}[/tex], [tex]t=1[/tex] e utilizarmos a identidade (II), teremos que:
[tex]\quad \begin{align*}\sqrt[3]{9}−1=z-t &\stackrel{(II)}{=} \dfrac{z^3-t^3}{z^2+zt+t^2}\\
&=\dfrac{\left(\sqrt[3]{9}\right)^3-1^3}{\left(\sqrt[3]{9}\right)^2+\sqrt[3]{9}\cdot 1+1^2}\\
&=\dfrac{9-1}{\sqrt[3]{9^2}+\sqrt[3]{9}+1}=\dfrac{8}{\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{9}+1}.\end{align*}[/tex]
Assim, [tex] \, \dfrac{1}{\sqrt[3]{9}−1}=\dfrac{\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{9}+1}{8}[/tex] e, então, [tex] \, \boxed{x=\dfrac{\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{9}+1}{8}}[/tex].
Dessa forma, podemos fazer [tex]a=81,b=9,c=8[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.