Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Considere os números formados por cem algarismos contendo exatamente um algarismo [tex]1[/tex], exatamente dois algarismos [tex]2[/tex], e assim por diante, até exatamente nove algarismos [tex]9[/tex], sendo os outros algarismos todos zeros.
Mostre que nenhum desses números é um quadrado perfeito.
Para ajudar . . .
Definição: Quadrado perfeito é qualquer número natural que possa ser representado pelo quadrado de um número também natural.
Assim, um número natural n é dito um quadrado perfeito se, e somente se, existir um número natural a tal que [tex]n=a^2[/tex].
Em símbolos:
[tex]\qquad \fbox{$\displaystyle \text{Seja } n \in \mathbb{N}.\,\, n\ \acute{e}\ \text{quadrado perfeito} \iff \exists\, a \in \mathbb{N} \mid n=a^2 \, $}[/tex]
Dessa forma, se [tex]p_1, \, p_2, \, \cdots \, ,p_m \, [/tex] forem os fatores primos distintos de [tex]n[/tex], então [tex] n[/tex] é um quadrado perfeito se, e somente se,
[tex]\qquad \boxed{n=p_1^{2q_1} \, p_2^{2q_2} \, \ldots \, p_m^{2q_m}}[/tex], com [tex]q_1, \, q_2, \, ,\ldots,q_m[/tex] número naturais.
Para aprender um pouco mais sobre quadrados perfeitos, depois que você resolver o problemas, visite esta Sala de Estudo.
Solução
Mostraremos, inicialmente, que qualquer um desses números é divisível por [tex]3[/tex], mas não por [tex]9[/tex].
Para isso, usaremos os seguintes critérios de divisibilidade:
Ao somarmos todos os algarismos de um número que satisfaz as condições do enunciado, obtemos
[tex]\begin{align*}
\underbrace{0+0+\ldots+0}_{cinquenta\,\, e\,\, cinco\,\, 0}+\underbrace{1}_{um\,\, 1}+\underbrace{2+2}_{dois\,\, 2}+\ldots+\underbrace{9+9+\ldots+9}_{nove\,\, 9}&= 55\cdot0\,+\,1\cdot 1\,+2\cdot 2+\, \ldots \, +\,9\cdot 9\\
&= 0\,+\,1^2\,+\,2^2\,+\,\ldots\,+\,9^2\\
&= 285\end{align*}[/tex]
Como [tex]285[/tex] é divisível por [tex]3[/tex], mas não por [tex]9[/tex], concluímos que qualquer um dos números mencionados no problema também é divisível por [tex]3[/tex], mas não por [tex]9[/tex].
Agora, perceba que, na decomposição de um quadrado perfeito qualquer como produto de potências de números primos distintos, cada primo deve possuir um expoente par.
Assim, como os números em questão são divisíveis por [tex]3[/tex], o expoente de [tex]3[/tex] na decomposição de cada um como produto de potências de números primos distintos deveria ser um número par maior ou igual a [tex]2[/tex], para que tais números fossem quadrados perfeitos. Mas isso não ocorre, pois se ocorresse o número em questão seria divisível por [tex]9[/tex] e mostramos [tex]9[/tex] não é divisor de nenhum dos números definidos no enunciado do problema.
Como é impossível que um quadrado perfeito tenha apenas um fator [tex]3[/tex] em sua decomposição, então nenhum desses números é quadrado perfeito.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.