Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A diferença de dois quadrados perfeitos é [tex]92[/tex].
Determine-os.
Solução 1
Sejam [tex] \, a \, [/tex] e [tex] \, b \, [/tex] inteiros não negativos tais que [tex]a^2 – b^2 = 92[/tex].
Sabemos que [tex]a^2 – b^2 = (a+b) \cdot (a-b)[/tex], assim [tex](a+b) \cdot (a-b)=92[/tex].
Os fatores [tex]a+b[/tex] e [tex]a-b[/tex] têm a mesma paridade, ou seja, são ambos pares ou ambos ímpares (verifique!); mas, sendo o produto [tex]92[/tex], concluímos que os fatores são ambos pares.
Por outro lado, ao fatorarmos [tex]92[/tex], obtemos [tex]92 = 2 \cdot 2 \cdot 23[/tex]. Como só há dois fatores primos pares ([tex]2[/tex] e [tex]2[/tex]), concluímos que [tex]a + b = 46[/tex] e [tex]a-b = 2[/tex].
Somando essas duas equações, obtemos [tex]2a = 48[/tex]; assim [tex]a=24[/tex] e [tex]b=22[/tex] e, portanto, os quadrados perfeitos são [tex]\boxed{a^2 = 576}[/tex] e [tex]\boxed{b^2 = 484}[/tex].
Observe que o fato de termos assumido que [tex] \, a \, [/tex] e [tex] \, b \, [/tex] são inteiros não negativos não tira a generalidade da solução, pois estamos procurando quadrados perfeitos que, em essência, são números inteiros não negativos, e [tex](-x)^2=x^2[/tex] para todo [tex]x[/tex] inteiro. Assim, mesmo que [tex] \, a \, [/tex] e [tex] \, b \, [/tex] fossem negativos, os valores obtidos para [tex]a^2[/tex] e [tex]b^2[/tex] seriam iguais aos encontrados.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sejam [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] números naturais tais que [tex]92 = a^2 – b^2[/tex].
De acordo com os produtos notáveis, [tex] a^2 – b^2=(a+b)(a-b)[/tex], então [tex]92 = (a + b)(a – b)[/tex].
Agora perceba que:
par + ímpar = ímpar, assim como par – ímpar = ímpar;
par + par = par, assim como par – par = par;
ímpar + ímpar = par, assim como ímpar – ímpar = par.
Com isso, podemos ver que [tex](a + b)[/tex] e [tex](a – b)[/tex] possuem a mesma paridade. Se os dois têm a mesma paridade, temos que ou os dois são pares ou os dois são ímpares. Note que:
ímpar × ímpar = ímpar.
Como [tex]92[/tex] é par, [tex](a + b)[/tex] e [tex](a – b)[/tex] só podem ser pares. Os divisores pares positivos que [tex]92[/tex] possui são [tex]2, \, 4, \, 46[/tex] e [tex]92[/tex], mas observe que:
- se [tex](a + b)[/tex] ou [tex](a – b)[/tex] fosse [tex]4[/tex], o outro deveria ser [tex]23[/tex], o que é um absurdo, pois [tex]23[/tex] é um número ímpar e vimos anteriormente que tanto [tex](a + b)[/tex] quanto [tex](a – b)[/tex] são pares;
- se [tex](a + b)[/tex] ou [tex](a – b)[/tex] fosse [tex]92[/tex], o outro deveria ser [tex]1[/tex], o que, mais uma vez, é um absurdo, pois [tex]1[/tex] é um número ímpar e tanto [tex](a + b)[/tex] quanto [tex](a – b)[/tex] são pares;
logo, um deles é igual a [tex]2[/tex] e o outro igual a [tex]46[/tex].
Como [tex]a \, [/tex] e [tex] \, b[/tex] são números naturais, obviamente [tex](a + b) \gt (a – b)[/tex] e, como [tex]46 \gt 2[/tex], podemos concluir que [tex](a + b) = 46[/tex] e [tex](a – b) = 2[/tex].
Por fim, para saber o valor de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], basta resolver o seguinte sistema:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}a + b = 46\\
a – b = 2\end{cases}[/tex]
Somando as duas equações, segue que:
[tex]\qquad a + b + a + (- b) = 46 + 2[/tex]
[tex] \qquad 2a \cancel{+ b} \cancel{- b} = 48[/tex]
[tex] \qquad a = \dfrac{48}{2}[/tex]
[tex] \qquad a = 24[/tex]
Se [tex]a = 24[/tex], logo:
[tex] \qquad a + b = 46[/tex]
[tex] \qquad b = 46 – 24[/tex]
[tex] \qquad b = 22[/tex].
Assim, os quadrados citados são [tex]a^2=24^2=576,b^2=22^2=484[/tex]. Para comprovar, basta realizar a conta:
[tex]\qquad 24^2 – 22^2 = 576 – 484 = 92[/tex].
Solução elaborada pelo COM 1uik, com contribuições dos Moderadores do Blog.