Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Seja [tex]n[/tex] um inteiro não negativo qualquer.
Prove que os números [tex] \, n+2 \, [/tex] e [tex] \, n^2+n+1 \, [/tex] não podem ser ambos cubos perfeitos.
Propriedades que ajudam
Você sabe o que é um cubo perfeito?
Assim, ao afirmarmos que um inteiro [tex]m[/tex] é um cubo perfeito, isso significa que existe um número inteiro [tex]n[/tex] tal que [tex]m=n^3[/tex].
Na solução do problema, vamos utilizar duas propriedades matemáticas envolvendo cubos de números naturais.
[tex](ii)[/tex] Os únicos números naturais que são cubos e consecutivos são [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex].
Se você não sabe como justificar essas duas propriedades, clique no botão abaixo.
Solução
Seja [tex]n[/tex] um inteiro não negativo.
Se [tex]n+2[/tex] e [tex]n^2+n+1[/tex] fossem cubos perfeitos, o seu produto também seria um cubo perfeito, de acordo com a propriedade [tex](i)[/tex].
Como
[tex]\qquad \begin{align*}(n+2)(n^2+n+1)&=n^3 +n^2+n+2n^2+2n+2\\
&=n^3+3n^2+3n+2\\
&=(n+1)^3+1,\end{align*}[/tex]
então [tex](n+1)^3+1=x^3,[/tex] para algum [tex]x\in\mathbb{N}[/tex].
Dessa forma, teríamos dois naturais consecutivos e cubos perfeitos, a saber: [tex](n+1)^3[/tex] e [tex](n+1)^3+1=x^3[/tex].
Particularmente, observe que, como [tex]n\geqslant 0[/tex], então:
[tex]\qquad n+1\geqslant 1[/tex];
[tex]\qquad(n+1)^3\geqslant 1[/tex];
[tex]\qquad(n+1)^3+1\geqslant 2[/tex];
e, portanto, não estamos no caso único dos números consecutivos [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex].
Dessa forma, não é possível que [tex](n+1)^3+1[/tex] seja cubo perfeito e, consequentemente, [tex]n+2[/tex] e [tex]n^2+n+1[/tex] não podem ser ambos cubos perfeitos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.