Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Abaixo, mostramos alguns exemplos nos quais a soma dos quadrados de [tex]k+1[/tex] números positivos consecutivos é igual à soma dos quadrados dos [tex]k[/tex] inteiros seguintes.
- [tex]k=1[/tex]:
[tex] 3^2+4^2 = 5^2;[/tex] - [tex]k=4[/tex]:
[tex] 36^2+37^2+38^2+39^2 +40^2 = 41^2+42^2+43^2+44^2;[/tex] - [tex]k=5[/tex]:
[tex] 55^2+56^2 +57^2+58^2+59^2+60^2 = 61^2+62^2+63^2+64^2+65^2.[/tex]
(a) Encontre a solução para [tex]k=2[/tex].
(b) Encontre uma fórmula geral válida para todo inteiro positivo [tex]k[/tex], ou seja, uma igualdade com essas características para cada inteiro positivo [tex]k[/tex] .
Ferramentas que ajudam
Na solução do item b do problema, vamos utilizar duas igualdades importantes da Matemática.
[tex](ii)[/tex] A soma dos [tex]t[/tex] primeiros números naturais não nulos:
[tex]\qquad 1+2+3+ \cdots+t=\dfrac{(1+t)\cdot t}{2}[/tex].
Se você não sabe como obter essas duas igualdades, clique no botão abaixo.
Solução
Vamos observar com mais atenção os três exemplos do enunciado, antes de apresentarmos uma solução para o problema.
- A soma dos quadrados de [tex]2[/tex] números positivos consecutivos é igual ao quadrado do inteiro seguinte:
[tex]\underbrace{3^2+4^2}_{k+1=2}=\underbrace{5^2}_{k=1}[/tex]. - A soma dos quadrados de [tex]5[/tex] números positivos consecutivos é igual à soma dos quadrados dos [tex]4[/tex] inteiros seguintes:
[tex]\underbrace{36^2+37^2+38^2+39^2 +40^2 }_{k+1=5}=\underbrace{41^2+42^2+43^2+44^2}_{k=4}[/tex]. - A soma dos quadrados de [tex]6[/tex] números positivos consecutivos é igual à soma dos quadrados dos [tex]5[/tex] inteiros seguintes:
[tex]\underbrace{55^2+56^2 +57^2+58^2+59^2+60^2}_{k+1=6}=\underbrace{61^2+62^2+63^2+64^2+65^2}_{k=5}[/tex].
(a) Precisamos encontrar [tex]k+1=3[/tex] números positivos consecutivos cuja soma dos quadrados seja igual à soma dos quadrados dos [tex]k=2[/tex] inteiros seguintes.
Observe que a igualdade
[tex]\qquad \boxed{10^2+11^2+12^2=13^2+14^2}[/tex]
mostra que a soma dos quadrados dos três números consecutivos [tex]10,11[/tex] e [tex]12[/tex] é igual à soma dos quadrados dos dois inteiros seguintes, [tex]13[/tex] e [tex]14[/tex].
(b) Para solucionarmos este item, fixado um inteiro positivo [tex]k[/tex], devemos encontrar uma sequência de [tex]2k+1[/tex] números positivos consecutivos de forma que a soma dos quadrados dos [tex]k+1[/tex] primeiros inteiros seja a soma dos quadrados dos [tex]k[/tex] inteiros seguintes.
Suponha, então, que os [tex]2k+1[/tex] números positivos consecutivos
[tex]\qquad n-k, \, n-k+1, \, \ldots, \, n-1, \, n, \, n+1, \, \ldots, \, n+k[/tex]
sejam uma solução para a igualdade relativa ao inteiro positivo [tex]k[/tex], para algum inteiro positivo [tex]n[/tex]. Assim, a soma dos quadrados dos [tex]k+1[/tex] números consecutivos de [tex]n-k[/tex] a [tex]n[/tex] é igual à soma dos quadrados dos [tex]k[/tex] inteiros seguintes, de [tex]n+1[/tex] a [tex]n+k[/tex].
Isto significa que:
[tex]\qquad \underbrace{(n-k)^2+(n-k+1)^2 +\ldots+(n-1)^2+n^2}_{k+1}=\\
\qquad =\underbrace{(n+1)^2+\ldots+(n+k-1)^2 +(n+k)^2}_{k}.\qquad (iii)[/tex]
Precisamos, agora, encontrar uma igualdade que relacione [tex]n[/tex] com [tex]k[/tex].
[tex]\qquad n-k, \, n-k+1, \, \ldots \, , \, n-1, \, n, \, n+1, \, \ldots \, , \, n+k[/tex]
que formam a igualdade [tex](iii)[/tex], relativa ao número dado [tex]k[/tex].
Por isso, chamaremos a igualdade [tex](iii)[/tex] de “fórmula geral”.
Note que da igualdade [tex](iii)[/tex] podemos obter que
[tex]\qquad n^2=((n+1)^2-(n-1)^2)+((n+2)^2-(n-2)^2)+\ldots+ ((n+k)^2-(n-k)^2)[/tex]
e, portanto,
[tex]\quad \begin{align*}
n^2&=((n+1)^2-(n-1)^2)+((n+2)^2-(n-2)^2)+\ldots+ ((n+k)^2-(n-k)^2)\\
n^2&\stackrel{(i)}{=} (((n+\cancel{1})+(n-\cancel{1}))\cdot((\cancel{n}+1)-(\cancel{n}-1)))+ \\
&\,\,\,\,\,\,\,\,(((n+\cancel{2})+(n-\cancel{2}))\cdot((\cancel{n}+2)-(\cancel{n}-2)))+\\
&\,\,\,\,\,\,\,\,\ldots+ (((n+\cancel{k})+(n-\cancel{k}))\cdot((\cancel{n}+k)-(\cancel{n}-k)))
\\
n^2&=(2n\cdot (2\cdot 1))+(2n\cdot (2\cdot 2))+\ldots +(2n\cdot (2\cdot k))\\
n^2&=4n+4n\cdot 2+\ldots +4n\cdot k\\
n^2&=4n(1+2+\ldots+k)\\
n^2&\stackrel{(ii)}{=}4n\cdot\dfrac{(k+1)k}{2}\\
n^2&=2nk(k+1).
\end{align*}[/tex]
Muito bem, o que essa série de igualdades nos mostra é que as igualdades
[tex]\qquad \boxed{(n-k)^2+(n-k+1)^2 +\ldots (n-1)^2+n^2=\\
\;=(n+1)^2+\ldots+(n+k-1)^2 +(n+k)^2} \qquad \qquad (iii)[/tex]
e
[tex]\qquad \boxed{n^2=2nk(k+1)} \qquad \qquad (iv)[/tex]
são equivalentes, ou seja,
● se temos [tex](iii)[/tex], temos também [tex](iv)[/tex]
e, reciprocamente,
● se temos[tex](iv)[/tex], temos também [tex](iii)[/tex].
Como queremos que [tex]n[/tex] seja um inteiro positivo, então [tex]n\ne 0[/tex]; logo ainda podemos escrever [tex](iv)[/tex] como [tex]\dfrac{n^2}{n}=\dfrac{2nk(k+1)}{n}[/tex] e, portanto, [tex]n=2k(k+1).[/tex]
Assim, para obtermos [tex](iii)[/tex] e garantirmos que a soma dos quadrados dos [tex]k+1[/tex] números consecutivos de [tex]n-k[/tex] a [tex]n[/tex] seja igual à soma dos quadrados dos [tex]k[/tex] inteiros seguintes, de [tex]n+1[/tex] a [tex]n+k[/tex], basta tomarmos o inteiro [tex]n[/tex] tal que [tex]n=2k(k+1)=2k^2+2k[/tex].
Nesse caso:
➤ os números consecutivos de [tex]n-k[/tex] a [tex]n[/tex] serão os números de [tex]2k^2+k[/tex] a [tex]2k^2+2k[/tex]
➤ e os consecutivos de [tex]n+1[/tex] a [tex]n+k[/tex] serão os números de [tex]2k^2+2k+1[/tex] a [tex]2k^2+3k[/tex].
E esta é a solução geral do nosso problema, para todo inteiro positivo [tex]k[/tex].
Por exemplo, para [tex]k=2[/tex], obtemos [tex]n=2\cdot 2^2+2\cdot 2=8+4=12[/tex] e
➤ os números consecutivos são de [tex]n-k=10[/tex] a [tex]n=12[/tex]
➤ e de [tex]n+1=13[/tex] a [tex]n+k=14[/tex],
ou seja, [tex]10^2+11^2+12^2=13^2+14^2[/tex], como visto no item (a).
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