Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Duas torneiras juntas enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta cinco horas a mais do que a outra para encher o mesmo tanque. Quanto tempo a torneira com maior vazão gasta para encher, sozinha, o tanque?
Solução
Vamos chamar as vazões das torneiras de [tex]T_1[/tex] e [tex]T_2[/tex], sendo respectivamente a maior e a menor vazão.
- Sabemos que em [tex]6 [/tex] horas as torneiras juntas conseguem encher o tanque, cujo volume chamaremos de [tex]T_a[/tex]. Sendo assim, [tex]\boxed{6\cdot(T_1 + T_2)=T_a}\,.[/tex]
- Em um intervalo de tempo [tex]x[/tex], a torneira de vazão [tex]T_1[/tex] enche o tanque sozinha, o que pode ser representado por [tex]\boxed{T_1 \cdot x = T_a}\,.[/tex]
- Mas em [tex]x+5[/tex] horas, a torneira de vazão [tex]T_2[/tex] enche o mesmo tanque, o que pode ser representado por [tex]\boxed{T_2\cdot(x+5)=T_a}\,.[/tex]
Se igualarmos as duas primeiras equações temos que:
[tex]\qquad 6\cdot(T_1+T_2)=T_1\cdot x \\
\qquad T_2=\dfrac{(x-6)\cdot T_1}{6}\,.[/tex]
Igualando a segunda e a terceira equações teremos [tex]T_1\cdot x=T_2\cdot(x+5)[/tex].
Substituindo o valor de [tex]T_2[/tex], que descobrimos anteriormente, nessa última equação segue que:
[tex]\qquad T_1\cdot x=[/tex] [tex]\dfrac{(x-6)\cdot T_1}{6}\cdot(x+5)[/tex]
[tex]\qquad 6x = (x-6)(x+5)[/tex]
[tex]\qquad 6x = x^2+5x-6x-30[/tex]
[tex]\qquad x^2 -7x-30=0\,.[/tex]
Utilizando a fórmula de resolução de uma equação do segundo grau, teremos dois valores para [tex]x[/tex], que são [tex]10\,[/tex] e [tex]\,-3[/tex]. Como o tempo não pode ser negativo, então o tempo que a torneira de maior vazão leva para encher o tanque sozinha é [tex]10[/tex] horas.
Solução enviada pelo Clube Aprendizes dos Números.