Problema
Prove a seguinte desigualdade: [tex]cos 36^\circ \gt tan 36^\circ[/tex].
Estratégia de solução
Nesse tipo de raciocínio, é importantíssimo termos certeza de que todas as desigualdades são equivalentes, para que possamos utilizar a volta do caminho que vamos estabelecer e garantir que temos, de fato, a desigualdade inicial. Assim, o que iremos estabelecer é uma sequência do tipo
[tex]\qquad \boxed{cos 36^\circ \gt tan 36^\circ} \iff D_1 \iff D_2 \iff \cdots \iff D_n[/tex],
na qual [tex]D_1[/tex], [tex]D_2[/tex], . . . , [tex]D_n[/tex] são desigualdades, sendo [tex]D_n[/tex] uma desigualdade verdadeira.
Dessa forma, como [tex]\boxed{cos 36^\circ \gt tan 36^\circ}[/tex] e [tex]D_n[/tex] são equivalentes e [tex]D_n[/tex] é verdadeira, então [tex]cos 36^\circ \gt tan 36^\circ[/tex] será também uma desigualdade verdadeira e com isso podemos concluir a demonstração.
Talvez ajude relembrar que duas afirmações são equivalentes se, sempre que uma for verdadeira, a outra também o é. Assim, duas afirmações [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são equivalentes quando:
➤ se [tex]A[/tex] for verdadeira, então [tex]B[/tex] é verdadeira;
e
➤ se [tex]B[/tex] for verdadeira, então [tex]A[/tex] é verdadeira.
Observamos que, se “[tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são afirmações equivalentes“, podemos também dizer que “[tex]A[/tex] é equivalente a [tex]B[/tex]” (em símbolos, [tex]A \iff B[/tex]) e que “[tex]B[/tex] é equivalente a [tex]A[/tex]” (em símbolos, [tex]B \iff A[/tex]).
Dessa forma, se temos a equivalência entre uma afirmação [tex]A[/tex] e uma afirmação [tex]B[/tex], temos também a equivalência entre a afirmação [tex]B[/tex] e a afirmação [tex]A[/tex].
Solução do problema
Antes de apresentarmos a solução, recordemos algumas relações trigonométricas que utilizaremos.
[tex] cos\, 2x=2cos^2x-1[/tex] [tex] \qquad (i)[/tex]
[tex] cos\, (90^\circ -x)=sen \, x[/tex] [tex] \qquad (ii)[/tex]
[tex] sen (x+y)=sen \, x \, cos \, y+sen \, y \, cos \, x.[/tex] [tex] \qquad (iii)[/tex]
De acordo com a estratégia apresentada, a partir da desigualdade [tex]cos36^{\circ}> tan36^{\circ}[/tex] obteremos uma sequência de desigualdades equivalentes, visando encontrar uma última desigualdade para a qual seja possível garantir sua veracidade.
Então, vamos lá!
| [tex] cos36^{\circ}\gt tan36^{\circ}[/tex] | [tex]\iff 2 cos36^{\circ} \gt 2 tan36^{\circ}[/tex] | (Multiplicando a desigualdade por 2.) |
| [tex]\iff 2cos36^{\circ}\gt 2 \, \dfrac{sen36^{\circ}}{cos36^{\circ}}[/tex] | (Usando a definição de tangente.) | |
| [tex]\iff 2cos^2 36^{\circ}\gt 2 sen 36^{\circ}[/tex] | (Multiplicando a desigualdade por [tex]cos 36^{\circ}[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ cos 72^{\circ}\gt 2 sen 36^{\circ} [/tex] | (Por [tex](i)[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ cos (90^{\circ}-18^{\circ})\gt 2 sen (30^{\circ}+6^{\circ}) [/tex] | ([tex]72=90-18[/tex] e [tex]36=30+6[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ sen 18^{\circ} \gt 2 sen (30^{\circ}+6^{\circ}) [/tex] | (Por [tex] (ii)[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ sen 18^{\circ}\gt 2 (sen 6^{\circ} cos 30^{\circ} + sen 30^{\circ} cos 6^{\circ}) [/tex] | (Por [tex] (iii)[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ sen 18^{\circ}\gt 2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ} + cos 6^{\circ} [/tex] | ([tex]sen 30^{\circ} = \frac{1}{2}[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ sen (9^{\circ}+9^{\circ})\gt 2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ} + cos 6^{\circ} [/tex] | ([tex]18=9+9[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ 2 sen 9^{\circ} cos9^{\circ}\gt 2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ} + cos 6^{\circ}[/tex] | (Por [tex] (iii)[/tex].) | |
| [tex]\iff 1+ 2 sen 9^{\circ} cos9^{\circ}>cos 6^{\circ} + 2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ}[/tex] | (Reordenando o termo da direita.) |
Com um pouco de objetividade conseguimos mostrar que a última desigualdade
[tex]\qquad 1+ 2 sen 9^{\circ} cos9^{\circ}>cos 6^{\circ} + 2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ}[/tex] [tex] \qquad \qquad (iv)[/tex]
é verdadeira. Para isso, podemos utilizar o applet abaixo para observar que, no primeiro quadrante do circulo trigonométrico:
➤ aumentando a medida do ângulo, aumentamos o valor do seno
➤ aumentando a medida do ângulo, diminuímos o valor do cosseno
e, assim, perceber que valem as seguintes desigualdades, a princípio nada evidentes, mas verdadeiras:
[tex]\qquad cos 0^{\circ} \gt cos 6^{\circ}[/tex]; [tex] \qquad \qquad \, \, (v)[/tex]
[tex]\qquad sen 9^{\circ} \gt sen 6^{\circ}[/tex]; [tex] \qquad \qquad \, (vi)[/tex]
[tex]\qquad cos 9^{\circ} \gt cos 30^{\circ}[/tex]. [tex] \qquad \qquad (vii)[/tex]
Observe que, multiplicando as desigualdades [tex] (vi)[/tex] e [tex] (vii)[/tex] termo a termo (o que pode ser feito sem preocupação já que todos os termos são positivos), obtemos
[tex]\qquad sen9^{\circ} cos 9^{\circ} \gt sen 6^{\circ} cos 30^{\circ}[/tex]
donde
[tex] \qquad 2sen9^{\circ} cos 9^{\circ} \gt 2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ}[/tex].
Agora, somando termo a termo esta última desigualdade com a desigualdade [tex] (v)[/tex], obtemos
[tex] \qquad cos 0^{\circ}+2sen9^{\circ} cos 9^{\circ} \gt cos 6^{\circ}+2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ}[/tex],
mas, como [tex]cos 0^{\circ} = 1[/tex], segue que
[tex] \qquad 1+2sen9^{\circ} cos 9^{\circ} \gt cos 6^{\circ}+2 sen 6^{\circ} cos 30^{\circ}[/tex],
o que mostra que a desigualdade [tex] (iv)[/tex] é verdadeira.
Como a desigualdade [tex] (iv)[/tex] é equivalente à desigualdade [tex]cos 36^\circ \gt tan 36^\circ[/tex], provamos, de fato, que [tex]\boxed{cos 36^\circ \gt tan 36^\circ}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Um aplicativo para ajudar
Você pode utilizar o applet abaixo para observar que, no primeiro quadrante do circulo trigonométrico:
➤ aumentando a medida do ângulo, aumentamos o valor do seno;
➤ aumentando a medida do ângulo, diminuímos o valor do cosseno.
Instruções:
1) Aguarde o aplicativo carregar completamente.
2) Clique sobre o ponto P, mantenha o mouse pressionado e movimente o ponto.
3) Para cada ângulo de medida [tex]\theta[/tex] definido, observe os respectivos valores do seno ([tex]sen\theta[/tex]) e do cosseno ([tex]cos\theta[/tex]).
4) Para movimentar automaticamente o ponto P, clique no ícone ► que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo.
5) Para parar a animação, basta clicar no ícone || que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo durante a animação.
6) Para reiniciar o aplicativo, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
7) Lembre-se de que o GeoGebra trabalha com arredondamentos e que a visualização de várias situações particulares de um fato matemático não substitui sua demonstração.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra