Quatro amigos, Alex, Bebeto, Carlos e Davi, precisam atravessar uma ponte, utilizando uma lanterna que permite visualizar o caminho. A ponte é antiga e suporta no máximo duas pessoas de cada vez.
A seguir mostramos os tempos que cada um precisa para atravessar a ponte:
Alex leva 10 minutos.
Bebeto precisa de 5 minutos.
Carlos demora 2 minutos.
Davi necessita de 1 minuto.
Entretanto, quando uma dupla atravessa a ponte, o tempo de percurso é sempre o do mais lento.
Sabendo que alguém deve sempre retornar com a lanterna para a travessia de um novo grupo, é possível que todos completem a travessia em 17 minutos?
Explique sua resposta.
Solução 1
Sim, é possível completar a travessia em 17 minutos, de dois modos.
Uma das possibilidades é esta:
► Davi e Carlos atravessam; (2 minutos) ► Davi retorna; (1 minuto ) ► Alex e Bebeto atravessam; (10 minutos) ► Carlos retorna; (2 minutos) ► Davi e Carlos atravessam; (2 minutos)
• Supondo que Carlos e Davi atravessassem primeiro, iriam demorar 2 minutos e, quando Carlos voltasse, seriam gastos mais 2 minutos. • A seguir, Alex e Bebeto atravessariam e iriam demorar mais 10 minutos, e o Davi voltaria em mais 1 minuto. • Novamente Davi e Carlos atravessariam, no que seriam gastos mais 2 minutos.
Então, eles gastariam no total [tex]\boxed{2+2+2+1+10 = 17}[/tex] minutos.
Solução elaborada pelo COM ESQUADRÃO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão os Clubes: Aritméticos; ESQUADRÃO MATEMÁTICO.
Complicando o probleminha…
Está muito escuro e cinco pessoas, Dona Maria, Renata, Carlos, Davi e Matheus, precisam atravessar uma ponte, utilizando uma lamparina que permite visualizar o caminho. A ponte é antiga e suporta no máximo duas pessoas de cada vez.
A seguir mostramos os tempos que cada um precisa para atravessar a ponte:
Dona Maria leva [tex]12[/tex] minutos.
Renata precisa de [tex]8[/tex] minutos.
Carlos demora [tex]6[/tex] minutos.
Davi necessita de [tex]3[/tex] minutos.
Matheus precisa de apenas [tex]1[/tex] minuto.
Entretanto, quando uma dupla atravessa a ponte, o tempo de percurso é sempre o do mais lento.
Sabendo que alguém deve sempre retornar com a lamparina para a travessia de um novo grupo, é possível que todos completem a travessia em [tex]30[/tex] minutos?
Explique sua resposta.
Vocês poderão utilizar um joguinho que está disponibilizado no nosso Blog para simular soluções para o probleminha proposto. Para isso, basta clicar AQUI e
BOA DIVERSÃO!
Sim, é possível!
A princípio, devemos fazer algumas considerações.
Note que Dona Maria e Renata são as pessoas que mais demoram para atravessar a ponte; nesse contexto, para otimizar o tempo, é vantajoso que ambas atravessem a ponte juntas, pois ao invés de gastar [tex]20[/tex] minutos, que seriam necessários para levar as duas em momentos diferentes, gastamos apenas [tex]12[/tex] minutos. Por outro lado, é necessário considerar também o tempo para levar a lamparina de volta, se houvesse apenas as duas do outro lado da ponte, uma teria que retornar e então gastaríamos [tex]20[/tex] minutos, contudo se já houver uma pessoa que utilize menos tempo para retornar a lamparina, então otimizamos nosso tempo novamente. Por fim, considere ainda que para retornar a lamparina, o mais compensatório é utilizar a pessoa com menor tempo possível, pois é necessário apenas uma pessoa para isto, neste caso devemos tentar usar Matheus para retornar a lamparina o maior número de vezes possível. Em suma, temos três considerações que diminuem o tempo total de passagem pela ponte:
► Dona Maria e Renata atravessarem juntas; ► Dona Maria e Renata atravessarem a ponte depois que houver alguém com menor tempo possível do outro lado; ► Ganhamos vantagem em relação ao tempo quando usamos Matheus para retornar com a lamparina.
A partir destas três considerações conseguimos começar a construir a solução do problema.
1. Matheus e Davi atravessam a ponte em [tex]3[/tex] minutos com a lamparina. (utilizamos o tempo de Davi)
2. Matheus retorna com a lamparina em [tex]1[/tex] minuto.
3. Dona Maria e Renata atravessam a ponte em [tex]12[/tex] minutos. (utilizamos o tempo de Dona Maria)
4. Davi retorna com a lamparina em [tex]3[/tex] minutos.
Antes de continuar, note que ainda temos [tex]30 – 3 – 1 – 12 – 3 = 11[/tex] minutos e precisam atravessar a ponte Matheus (que demora [tex]1[/tex] minuto), Davi (que demora [tex]3[/tex] minutos) e Carlos (que demora [tex]6[/tex] minutos). Observe que agora o mais compensatório é que Carlos atravesse a ponte apenas uma vez, isto é, não podemos usá-lo para retornar com a lamparina, senão precisaríamos de [tex]12[/tex] minutos (e só temos [tex]11[/tex]), então neste caso podemos utilizar Matheus e Carlos, e assim retornamos com a lamparina com Matheus que possui o menor tempo possível ([tex]1[/tex] minuto) neste caso:
5. Matheus e Carlos atravessam a ponte em [tex]6[/tex] minutos. (utilizamos o tempo de Carlos)
6. Matheus retorna com a lamparina em [tex]1[/tex] minuto.
7. Matheus e Davi terminam as travessias indo para o outro lado da ponte em [tex]3[/tex] minutos. (utilizamos o tempo de Davi).
Concluímos que não apenas é sim possível como ainda restou [tex]1[/tex] minuto !
Muito obrigado pela sua leitura!
Angelo Donizeti Lorençoni Junior – Aluno do PIC 2016
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