Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Para cada inteiro positivo [tex]k[/tex], denote por [tex]S_k[/tex] a progressão aritmética crescente de inteiros cujo primeiro termo é 1 e cuja diferença entre dois termos consecutivos é [tex]k[/tex].
Por exemplo,
- [tex]S_3[/tex] é a sequência [tex]1,4,7,10,\ldots \, [/tex];
- [tex]S_5[/tex] é a sequência [tex]1,6,11,16,\ldots \, \, [/tex].
Para quais valores de [tex]k[/tex] a sequência [tex]S_k[/tex] contém o termo 2005?
Solução
Seja [tex]S_k[/tex] uma das progressões que satisfazem as exigências do problema e suponha que [tex]2005[/tex] seja o n-ésimo termo dessa sequência.
Note que isso quer dizer que
[tex]\qquad \qquad 1+(n-1)k=2005[/tex]
e, portanto, temos que:
[tex]\qquad \qquad k(n-1)=2004[/tex].
Mas [tex]2004=2^2\times 3\times 167[/tex], então
[tex]\qquad \qquad k(n-1)=2^2\times3\times167. \qquad (i)[/tex]
Na tabela abaixo, podemos ver os inteiros positivos [tex]k \, [/tex] e [tex] \, n-1[/tex] que satisfazem a equação [tex] (i) \, [/tex].
[tex]\begin{array}{|l|l|c|}
\hline k & n-1& k\times(n-1) \\
\hline 1& 2004&2004\\
\hline 2& 1002&2004\\
\hline 3& 668&2004\\
\hline 4& 501&2004\\
\hline 6& 334&2004\\
\hline 12& 167&2004\\
\hline 167& 12&2004\\
\hline 334& 6&2004\\
\hline 501& 4&2004\\
\hline 668& 3&2004\\
\hline 1002& 2&2004\\
\hline 2004& 1&2004\\
\hline
\end{array}[/tex]
Assim, os possíveis valores para [tex]k[/tex] são:
[tex]\qquad 1, \, \, 2, \, \, 3, \, \, 4, \, \, 6, \, \, 12, \, \, 167, \, \, 334, \, \, 501, \, \, 668, \, \, 1002 \, \, [/tex] e [tex] \, \, 2004[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Tentando entender…
Se você não entendeu de onde apareceram os valores de [tex]k \, [/tex] e [tex] \, n-1[/tex], a tabela abaixo pode ajudar.
[tex]\begin{array}{|l|l|c|}
\hline k & n-1& k\times(n-1) \\
\hline \boxed{1}& 2^2\times 3\times 167=\boxed{2004} &2004\\
\hline \boxed{2}& 2\times 3\times 167= \boxed{1002}&2004\\
\hline \boxed{3}& 2^2\times 167=\boxed{668} &2004\\
\hline 2^2=\boxed{4}& 3 \times 167=\boxed{501} &2004\\
\hline 2 \times 3=\boxed{6} & 2\times 167=\boxed{334}&2004\\
\hline 2^2\times 3=\boxed{12}& \boxed{167}&2004\\
\hline \boxed{167}& 2^2 \times 3=\boxed{12} &2004\\
\hline 2\times 167=\boxed{334} & 2 \times 3=\boxed{6}&2004\\
\hline 3 \times 167=\boxed{501}& 2^2=\boxed{4}&2004\\
\hline 2^2\times 167=\boxed{668}& \boxed{3}&2004\\
\hline 2\times 3\times 167=\boxed{1002}& \boxed{2}&2004\\
\hline 2^2\times 3\times 167=\boxed{2004} & \boxed{1}&2004\\
\hline
\end{array}[/tex]
Melhorou?
