Problema
No início do mês de maio, a loja Trecos e Troços reajustou o preço de um produto com um aumento de [tex]25 \%[/tex]. No fim do mês, percebendo que a demanda pelo produto diminuiu, o gerente colocou um cartaz indicando uma promoção em que anunciava um desconto de [tex]x \%[/tex] sobre o produto.
Sabendo que o desconto fazia com que um consumidor, na compra desse produto, pagasse o mesmo preço anterior ao aumento, determine o valor de [tex]x[/tex].
Solução 1
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Nesta solução, indicaremos por [tex]N_1[/tex] e [tex]N_2[/tex] os preços do produto antes e após o aumento, respectivamente.
- Com o aumento, temos
[tex]\qquad N_2 = N_1 + 0,25 \cdot N_1 = (1 + 0,25) \cdot N_1 = 1,25 N_1. \qquad \qquad (i)[/tex] - Aplicado o desconto, sabemos que o preço do produto voltou ao seu preço antes do aumento, assim:
[tex]\qquad N_1=N_2 – \dfrac{x}{100} \cdot N_2. \qquad \qquad (ii)[/tex]
Então, por [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex], segue que
[tex]\qquad N_1 = 1,25 N_1 – \dfrac{x}{100} \cdot 1,25 N_1[/tex]
[tex]\qquad N_1 = (1,25 – \dfrac{1,25 x}{100}) \cdot N_1[/tex]
[tex]\qquad \cancel{N_1} = (1,25 – \dfrac{1,25 x}{100}) \cdot \cancel{N_1}[/tex]
[tex]\qquad 1,25 – \dfrac{1,25 x}{100} = 1[/tex]
[tex]\qquad 125 – 1,25 x = 100[/tex]
[tex]\qquad 1,25 x = 25[/tex]
[tex]\qquad x = \dfrac{25}{1,25} = 20[/tex].
Assim, o cartaz da loja indicava um desconto de [tex]20\%[/tex] sobre o produto anunciado.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Na solução do problema, consideraremos
- [tex]N_1:[/tex] preço antes do aumento;
- [tex]N_2:[/tex] preço após o aumento;
- [tex]N_3:[/tex] preço após o desconto.
Sabemos que o preço após o desconto é igual ao preço antes do aumento, logo: [tex]N_1 = N_3[/tex].
Sabemos também que [tex]N_1[/tex] é [tex] 100\%[/tex] de [tex]N_1[/tex]; podemos escrever isto da seguinte forma:
[tex]\qquad N_1 = \dfrac{100}{100}\cdot{N_1} = \dfrac{100N_1}{100}[/tex].
A questão diz que houve um aumento de [tex]25\%[/tex] no produto; podemos representar isto desta maneira:
[tex]\qquad \dfrac{100N_1}{100} + \bigg(\dfrac{25}{100}\cdot{\dfrac{100N_1}{100}}\bigg)[/tex].
Mas
[tex]\qquad \dfrac{100N_1}{100} + \dfrac{\left(25\right)\cdot \cancel{\left(100\right)}\cdot N_1}{\left(100\right)\cdot \cancel{\left(100\right)}} = \dfrac{100N_1}{100} + \dfrac{25N_1}{100} = \dfrac{125N_1}{100}[/tex],
deste modo, podemos concluir que [tex]N_2[/tex] é igual a [tex]\dfrac{125N_1}{100}[/tex].
Podemos escrever o desconto de [tex]x\%[/tex] da seguinte maneira:
[tex]\qquad \dfrac{125N_1}{100} – \bigg(\dfrac{x}{100}\cdot{\dfrac{125N_1}{100}}\bigg) = N_3[/tex].
Como [tex]N_3[/tex] é igual a [tex]N_1[/tex], podemos trocar [tex]N_3[/tex] por [tex]N_1[/tex] e finalmente descobrir o valor de [tex]x[/tex]:
[tex]\qquad \dfrac{125N_1}{100} – \bigg(\dfrac{x}{100}\cdot{\dfrac{125N_1}{100}}\bigg) = N_1[/tex]
[tex]\qquad – \bigg(\dfrac{x}{100}\cdot{\dfrac{125N_1}{100}}\bigg) = N_1 – \dfrac{125N_1}{100}[/tex]
[tex]\qquad – \bigg(\dfrac{x}{100}\cdot{\dfrac{125N_1}{100}}\bigg) = \dfrac{100N_1}{100} – \dfrac{125N_1}{100}[/tex]
[tex]\qquad – \bigg(\dfrac{x}{100}\cdot{\dfrac{125N_1}{100}}\bigg) = \dfrac{-25N_1}{100}[/tex]
[tex]\qquad -\dfrac{125N_1x}{10000} = \dfrac{-25N_1}{100}[/tex]
[tex]\qquad -125N_1x = \dfrac{-25N_1}{100}\cdot{\dfrac{10000}{1}}[/tex]
[tex]\qquad -125N_1x = \dfrac{ \left(-2500\right) \cdot \cancel{\left(100\right)}\cdot N_1}{\cancel{100}}[/tex]
[tex]\qquad x = \dfrac{-2500\cancel{N_1}}{-125\cancel{N_1}}[/tex]
[tex]\qquad x = 20[/tex].
Se [tex]x = 20[/tex], podemos concluir que [tex]x\% = 20\%[/tex].
Solução elaborada pelo COM 1uik, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 3
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A resposta é [tex]20\%[/tex].
No começo, temos o preço como [tex]100\%[/tex], e a loja reajustou o preço com um aumento de [tex]25\%[/tex], ou seja, o preço virou [tex]125\%[/tex] do preço original do produto.
Como o gerente percebeu que a demanda pelo produto diminuiu, ele colocou [tex]X\%[/tex] de desconto de modo que voltou ao preço normal.
Então, para voltar ao preço inicial devemos fazer com que os [tex]125\%[/tex] virem os [tex]100\%[/tex], ou seja, devemos tirar [tex]20\%[/tex], pois [tex]20\%[/tex] de [tex]125[/tex] é [tex]25[/tex].
Solução elaborada pelo COM ESQUADRÃO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.