Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Calcule a seguinte soma
[tex]\qquad \qquad \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, S = \dfrac{1}{1 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 7} + \dfrac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \dfrac{1}{2998 \cdot 3001}[/tex].
Solução
Perceba inicialmente que a diferença entre os dois fatores no denominador de cada fração é [tex]3[/tex].
Além disso, para [tex]a \neq 0[/tex] e [tex]a \neq -3[/tex], temos
[tex]\qquad \dfrac{1}{a} – \dfrac{1}{a+3} = \dfrac{a +3 – a}{a \cdot (a+3)} = \dfrac{3}{a \cdot (a+3)}[/tex]
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[tex]\qquad \dfrac{1}{a \cdot (a+3)} = \dfrac{\dfrac{1}{a} – \dfrac{1}{a+3}}{3}, \quad \forall a \in \mathbb{R}[/tex], [tex]a \neq 0[/tex] e [tex]a \neq -3[/tex].
Utilizando esse resultado em cada parcela, podemos reescrever a expressão inicial de [tex]S[/tex] como segue:
[tex]\qquad S = \dfrac{\dfrac{1}{1} – \dfrac{1}{4}}{3} + \dfrac{\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{7}}{3} + \dfrac{\dfrac{1}{7} – \dfrac{1}{10}}{3} + \ldots + \dfrac{\dfrac{1}{2998} – \dfrac{1}{3001}}{3}[/tex]
[tex]\qquad S = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{1}{1} – \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} – \dfrac{1}{10} + \ldots +\dfrac{1}{2995} – \dfrac{1}{2998} + \dfrac{1}{2998} – \dfrac{1}{3001} \right)[/tex]
[tex] \qquad S = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{1}{1} – \cancel{\dfrac{1}{4}} + \cancel{\dfrac{1}{4}} – \cancel{\dfrac{1}{7}} + \cancel{\dfrac{1}{7}} – \cancel{\dfrac{1}{10}} + \ldots\\
\qquad \qquad \quad \quad \;\;\ldots + \cancel{\dfrac{1}{2995}} – \cancel{\dfrac{1}{2998}} + \cancel{\dfrac{1}{2998}} – \dfrac{1}{3001} \right)[/tex]
[tex] \qquad S = \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{1}{1} – \dfrac{1}{3001} \right)[/tex]
[tex]\qquad S = \dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{3001 – 1}{3001}\right) [/tex]
[tex]\qquad S = \dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{3000}{3001}\right)[/tex]
[tex]\qquad S = \dfrac{1000}{3001}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.