Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Postamos na Nossa Ludoteca o passatempo
O total é….
Como explicá-lo?
Extraído de Encontros de Aritmética – Francisco Dutenhefner e Luciana Cadar.
Solução
- Vamos relembrar o passatempo.
- Agora, vamos escrever matematicamente as instruções.
E o total é….
(1) Escolha um número de três dígitos tais que o primeiro e o último dígitos não sejam iguais.
(2) Escreva o número de trás para frente, isto é, se você pensou no número abc, escreva cba.
(Antes de prosseguir, observe que aqui as notações [tex]abc[/tex] e [tex]cba[/tex] não indicam produtos e sim a representação dos números de três algarismos no sistema decimal.)
(3) Agora você tem dois números: o que você escolheu e o invertido. Então, subtraia o menor do maior.
(4) Inverta a diferença obtida.
(5) Trabalhando sempre com três dígitos, some a diferença obtida com a diferença invertida.
O total obtido é……..
…………………1089!
(1) Escolha um número de três dígitos tais que o primeiro e o último dígitos não sejam iguais.
Consideremos o número [tex]abc\,[/tex], com [tex]a\ne c[/tex].
Na base [tex]10[/tex], esse número pode ser escrito como [tex]\boxed{(abc)_{10}=100a+10b+c~}.\\
[/tex]
(2) Escreva o número de trás para frente, isto é, se você pensou no número abc, escreva cba.
Na base [tex]10[/tex] temos [tex]\boxed{(cab)_{10}=100c+10b+a~}.\\
[/tex]
(3) Agora você tem dois números: o que você escolheu e o invertido. Então, subtraia o menor do maior.
Supondo [tex]a \gt c\,[/tex], temos a seguinte diferença:
[tex]D=(abc)_{10}-(cab)_{10}=100(a-c)+(c-a). [/tex]
Essa diferença pode ser assim reescrita:
[tex] D =100(a-c)+(c-a)+100-100\\
D=100(a-c)+(c-a)+(90+10)-100\\
D=100 (a-c-1)+90+(10+c-a)\\
\boxed{D=(a-c-1)\times 100+9\times 10+(10+c-a)}.\\
[/tex]
(4) Inverta, agora a diferença obtida.
Para isso, observe:
[tex] D=\underbrace{\textcolor{red}{(a-c-1)}}_{\substack{\text{algarismo}\\ \text{do milhar}}}\times 100+9\times 10+\underbrace{\textcolor{blue}{(10+c-a)}}_{\substack{\text{algarismo} \\ \text {da unidade}}}.\\
[/tex]
Invertendo:
[tex]D_i=\underbrace{\textcolor{blue}{(10+c-a)}}_{\substack{\text{algarismo}\\ \text{do milhar}}}\times 100+9\times 10+\underbrace{\textcolor{red}{(a-c-1)}}_{\substack{\text{algarismo} \\ \text {da unidade}}}\\
\boxed{D_i=(10+c-a)\times 100+9\times 10+(a-c-1)}.\\
[/tex]
(5) Trabalhando sempre com três dígitos, some a diferença obtida com a diferença invertida.
[tex]D+D_i=\left[(a-c-1)+(10+c-a)\right]\times 100+\left[9+9\right]\times 10+\left[(10+c-a)+(a-c-1)\right]\\
D+D_i=\left[a-c-1+10+c-a\right]\times 100+18\times 10+\left[10+c-a+a-c-1\right]\\
D+D_i=9\times 100+18\times 10+9\\
D + D_i=900+180+9 \\
\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D+D_i=1089$}~.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.