Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Em um armazém, existem seis depósitos com capacidades de [tex]15, 16, 18, 19, 20[/tex] e [tex]31[/tex] litros. Um dos depósitos está cheio de nata e os outros estão cheios de leite ou de chocolate líquido.
Se o volume de leite é o dobro do de chocolate líquido, qual a soma dos volumes de chocolate líquido e de nata existentes no armazém?
Solução 1
Seja [tex]S[/tex] a soma da capacidade, em litros, de cada depósito. Então, [tex]S = 15+16+18+19+20+31 = 119[/tex].
Sejam [tex]n, \, l \, [/tex] e [tex] \, c \, [/tex] as quantidades, em litros, de nata, leite e chocolate, respectivamente.
Sabe-se que [tex]n\in \{15, 16, 18, 19, 20, 31\}[/tex], pois a nata ocupa somente um depósito.
Além disso,
[tex]\qquad \begin{cases} l+c = 119-n\\ l = 2c\end{cases}[/tex]
e, portanto,
[tex]\qquad 3c = 119-n[/tex].
Como [tex]c[/tex] é um número natural, conclui-se que [tex]119-n[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex].
Também, temos que:
[tex]\qquad 119-n = 3c[/tex]
[tex]\qquad (117+2)-n = 3c[/tex]
[tex]\qquad 3\cdot 39+2-n = 3c[/tex]
[tex]\qquad 2-n = 3 \left(c-39\right)[/tex].
e, com isso, podemos perceber que [tex]2-n[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex].
Dessa forma, existe um número natural [tex]k[/tex] tal que [tex]n-2 = 3k[/tex] e, então,
[tex]\qquad n= 3k+2[/tex],
ou seja, [tex]n[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex] somado com [tex]2[/tex].
Assim, dentre os números [tex]15, 16, 18, 19, 20[/tex], quais são aqueles que, ao subtrairmos [tex]2[/tex],obtemos um múltiplo de [tex]3[/tex]?
Vejamos:
- [tex]15-2=13[/tex], mas [tex]13[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex];
- [tex]16-2=14[/tex], mas [tex]14[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex];
- [tex]18-2=16[/tex], mas [tex]16[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex];
- [tex]19-2=17[/tex], mas [tex]17[/tex] não é múltiplo de [tex]3[/tex];
- [tex]20-2=18[/tex], e [tex]18[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex].
O único número com as características requeridas é [tex]20[/tex], logo [tex]n = 20[/tex].
Assim,
[tex]\quad c = \dfrac{119-20}{3} = 33[/tex]
e, portanto, [tex]n+c = 20+33 = 53[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Considerando:
[tex]l =[/tex] volume de leite
[tex]n =[/tex] volume de nata
[tex]c =[/tex] volume de chocolate líquido
Sabemos que o volume de leite é o dobro do de chocolate líquido. Podemos representar esta informação da seguinte maneira:
[tex]l = 2c[/tex]
Somando a capacidade de todos os recipientes, ou seja, [tex]15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31[/tex], obtemos o número [tex]119[/tex].
Deste modo podemos perceber que a soma do volume de leite mais o volume de chocolate é igual a [tex]119 – n[/tex]. Podemos representar isto deste modo:
[tex]l + c = 119 – n[/tex]
ou ainda:
[tex]2c + c = 119 – n[/tex]
[tex]3c = 119 – n[/tex]
Com isso podemos perceber que a soma do volume de leite mais o volume de chocolate líquido só pode ser um múltiplo de [tex]3[/tex]. Como sabemos, [tex]n[/tex] representa apenas um recipiente, e o único recipiente que quando subtraído de [tex]119[/tex] resulta num múltiplo de três é o com capacidade de [tex]20[/tex] litros. Observe:
[tex]119 – 15 = 104[/tex]
[tex]119 – 16 = 103[/tex]
[tex]119 – 18 = 101[/tex]
[tex]119 – 19 = 100[/tex]
[tex]119 – 20 = 99[/tex]
[tex]119 – 31 = 88[/tex]
Sabendo que [tex]n = 20[/tex], podemos continuar nossa conta:
[tex]3c = 119 – 20[/tex]
[tex]3c = 99[/tex]
[tex]c = \dfrac{99}{3}[/tex]
[tex]c = 33[/tex]
Podemos ver que [tex]c[/tex] é igual a [tex]33[/tex], o que nos leva também ao valor de [tex]l[/tex]: se [tex]l[/tex] é igual a [tex]2c[/tex], logo o volume de leite é igual a [tex]2\cdot33= 66.[/tex]
Se [tex]n = 20[/tex] e [tex]c = 33[/tex], logo o volume de nata mais o volume de chocolate líquido é igual a [tex]20 + 33 = 53.[/tex]
Solução elaborada pelo COM 1uik.
Solução 3
Se o volume de leite é o dobro do de chocolate líquido, ao somar o volume de leite e o de chocolate líquido deve-se obter um valor que seja múltiplo de 3.
Assim, o recipiente cheio de nata deve ter um volume que deixe mesmo resto que a soma dos volumes de todos os recipientes quando divididos por 3.
Como 119 e 20 são congruentes módulo 3, então o recipiente de 20 L contém nata.
O volume de chocolate líquido é (119-20)/3=33 litros.
A saber, os recipientes que contêm chocolate líquido são os de 15 e 18 L.
Logo a soma dos volumes de chocolate líquido e de nata é 33 + 20 = 53 L.
Solução elaborada pelo COM Paralelo 38.
Participaram da discussão os COMs: 1uik; Paralelo 38.