Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Dizemos que um número inteiro positivo [tex]n[/tex] é feliz se [tex]n=a^2+b^2[/tex], com [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] inteiros.
Por exemplo:
- [tex]10[/tex] é feliz, pois [tex]10=3^2+1^2[/tex];
- [tex]9[/tex] é feliz, pois [tex]9=0^2+3^2[/tex].
Seja [tex]n[/tex] um número feliz.
(a) Mostre que o número [tex]2n[/tex] também é feliz.
(b) Mostre que o número [tex]5n[/tex] também é feliz.
Solução
Seja [tex]n[/tex] um número feliz.
(a) Se [tex]n=a^2+b^2[/tex], com [tex]a, \, b \in \mathbb{Z}[/tex], então:
[tex]\qquad 2n=2a^2+2b^2=(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2.[/tex]
Como [tex] 2n=(a+b)^2+(a-b)^2[/tex], com [tex]a+b, \, a-b \in \mathbb{Z}[/tex], segue que [tex]2n[/tex] é feliz.
(b) Se [tex]n=a^2+b^2[/tex], com [tex]a, \, b \in \mathbb{Z}[/tex], como [tex]5=2^2+1^2[/tex], temos que:
[tex]\qquad \begin{align*} 5n & =(2^2+1^2)(a^2+b^2)
\\&= (2a)^2+a^2+(2b)^2+b^2
\\&=(2a)^2+b^2+(2b)^2+a^2
\\&=(2a)^2-4ab+b^2+(2b)^2+4ab+a^2
\\&= (2a-b)^2+(a+2b)^2.\end{align*}[/tex]
Assim, [tex] 5n=(2a-b)^2+(a+2b)^2[/tex], com [tex]2a-b, \, a+2b \in \mathbb{Z}[/tex], o que garante que [tex]5n[/tex] também é feliz.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Uma generalização
Mostraremos de modo geral que o produto de dois números felizes também é um número feliz.
De fato, se [tex]n=a^2+b^2 \, [/tex] e [tex] \, m=c^2+d^2[/tex], com [tex]a, \, b, \, c, \, d \in \mathbb{Z}[/tex], então:
[tex]\qquad \begin{align*} mn & =(a^2+b^2)(c^2+d^2)\\& =a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 \\& =a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2 \\& =(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.\end{align*}[/tex]
Assim, [tex]mn=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2[/tex], com [tex](ac-bd),(ad+bc) \, \in \mathbb{Z}[/tex].
Portanto, o produto de dois números felizes é um número feliz.