Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Na multiplicação abaixo, o número de dois algarismos XT foi multiplicado por outro número de dois algarismos YT, resultando em um número com três algarismos iguais, ZZZ. (X,Y,Z,T são algarismos distintos).
XT×YTZZZ
Calcule Z.
Uma propriedade que ajuda
Sejam a,b,p∈N.
Se p∣a⋅b e p é primo, então p∣a ou p∣b.
Em palavras,
Se um número primo divide um produto, então esse primo divide, necessariamente, um dos fatores do produto.
ou, ainda,
Um divisor primo de um produto é, necessariamente, divisor de um dos fatores desse produto.
É absolutamente essencial que, na aplicação dessa propriedade, tenhamos um divisor primo, caso contrário a propriedade pode não funcionar:
- 4 é um divisor de 2×6, mas 4 não é divisor de 2 e nem de 6;
- 6 é um divisor de 2×3, mas 6 não é divisor de 2 e nem de 3.
Solução 1
O ponto de partida é observar que
XT×YT=ZZZ=111×Z=3×37×Z.
Assim, como “3 e 37 são primos” e “3 e 37 são divisores de XT×YT”, então, pela propriedade acima, um dos números XT ou YT é divisível por 37 e, o outro, por 3.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que XT seja divisível por 37 e YT seja divisível por 3.
Como XT tem dois algarismos, temos somente duas possibilidades: XT=37 ou XT=74.
- Se XT=37, então X=3 e T=7, logo devemos ter YT=Y7 divisível por 3. A única possibilidade com XT×YT<1000 é Y=2.
Neste caso, obtemos 37×27=999 e Z=9. - Se XT=74, devemos ter YT=Y4 divisível por 3 O menor valor possível para Y é 2 e mesmo neste caso já temos 74×24>1000. Portanto, este caso não ocorre.
Pelo exposto, a única solução é Z=9.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Sabemos que ZZZ=111⋅Z=3⋅37⋅Z.
Observando esta conta podemos ver que XT ou YT são múltiplos de 37, o que quer dizer que um deles é 37 ou 74 (pois o próximo múltiplo de 37 é 111, passando de dois algarismos).
Mas logo podemos descartar 74, pois se 74 for XT ou YT, o outro número que restar(YT ou XT, respectivamente) terá que terminar em 4; mas não há qualquer número de dois algarismos com final 4 que atenda aos critérios pedidos na questão. Veja:
74⋅14=1036;
74⋅24=1776;
74⋅34=2516;
74⋅44=3256;
74⋅54=3996;
74⋅64=4736;
74⋅74 – Não é possível de qualquer forma, pois XT é diferente de YT;
74⋅84=6216;
74⋅94=6956.
Portanto só nos resta 37, vamos supor que ele seja XT. Com esta informação chegamos a conclusão que T é igual a 7.
Observando a igualdade ZZZ=37⋅3⋅Z podemos ver que YT só pode ser 3⋅Z. Assim, podemos listar todos os números de dois algarismos múltiplos de 3 que terminam em 7: 27, 57 e 87.
Se dividirmos todos estes números por 3, podemos ver qual número seria Z em cada uma das hipóteses:
27÷3=9;
57÷3=19;
87÷3=29.
Como Z representa apenas 1 algarismo, chegamos à conclusão de que ele corresponde ao número 9.
Podemos checar fazendo a conta: 37⋅27=999.
Solução elaborada pelo COM 1uik.