.Problema: Multiplicando números de dois algarismos

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Na multiplicação abaixo, o número de dois algarismos

$XT$ foi multiplicado por outro número de dois algarismos

$YT$ , resultando em um número com três algarismos iguais,

$ZZZ$ . (

$X, Y, Z, T$ são algarismos distintos).

$\qquad \qquad \begin{array}{ccc}& X & T \\ \times& Y & T\\ \hline Z&Z&Z\end{array}$

Calcule $Z$ .

Uma propriedade que ajuda

Sejam $a, \, b, \, p \in \mathbb{N}$ .
Se $\boxed{p \mid a\cdot b} \,$ e $\, p$ é primo, então $\boxed{p \mid a}$ ou $\boxed{p \mid b}$ .

Em palavras,

Se um número primo divide um produto, então esse primo divide, necessariamente, um dos fatores do produto.

ou, ainda,

Um divisor primo de um produto é, necessariamente, divisor de um dos fatores desse produto.

É absolutamente essencial que, na aplicação dessa propriedade, tenhamos um divisor primo, caso contrário a propriedade pode não funcionar:

$4$ é um divisor de $2\times 6$ , mas $4$ não é divisor de $2$ e nem de $6$ ;
$6$ é um divisor de $2\times 3$ , mas $6$ não é divisor de $2$ e nem de $3$ .

Solução 1

O ponto de partida é observar que

$\qquad XT \, \times \, YT=ZZZ=111\times Z = 3\times 37\times Z$ .
Assim, como “

$3 \,$ e

$\, 37$ são primos” e “

$3 \,$ e

$\, 37$ são divisores de

$XT \, \times \, YT$ ”, então, pela propriedade acima, um dos números

$XT$ ou

$YT$ é divisível por

$37$ e, o outro, por

$3$ .
Suponhamos, sem perda de generalidade, que

$XT$ seja divisível por

$37$ e

$YT$ seja divisível por

$3$ .
Como

$XT$ tem dois algarismos, temos somente duas possibilidades:

$XT=37$ ou

$XT=74$ .

Se $XT=37$ , então $X=3$ e $T=7$ , logo devemos ter $YT=Y7$ divisível por $3$ . A única possibilidade com $XT \times YT \lt 1000$ é $Y=2$ .
Neste caso, obtemos $37\times27=999 \,$ e $\, \boxed{Z=9}$ .
Se $XT=74$ , devemos ter $YT=Y4$ divisível por $3$ O menor valor possível para $Y$ é $2$ e mesmo neste caso já temos $74\times24 \gt 1000$ . Portanto, este caso não ocorre.

Pelo exposto, a única solução é $\boxed{Z=9}$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Sabemos que

$ZZZ = 111\cdot{Z} = 3\cdot37\cdot{Z}$ .
Observando esta conta podemos ver que

$XT$ ou

$YT$ são múltiplos de

$37$ , o que quer dizer que um deles é

$37$ ou

$74$ (pois o próximo múltiplo de

$37$ é

$111$ , passando de dois algarismos).
Mas logo podemos descartar

$74$ , pois se

$74$ for

$XT$ ou

$YT$ , o outro número que restar(

$YT$ ou

$XT$ , respectivamente) terá que terminar em

$4$ ; mas não há qualquer número de dois algarismos com final

$4$ que atenda aos critérios pedidos na questão. Veja:

$74\cdot14 = 1 036$ ;
$74\cdot24 = 1 776$ ;
$74\cdot34 = 2 516$ ;
$74\cdot44 = 3 256$ ;
$74\cdot54 = 3 996$ ;
$74\cdot64 = 4 736$ ;
$74\cdot74$ – Não é possível de qualquer forma, pois $XT$ é diferente de $YT$ ;
$74\cdot84 = 6 216$ ;
$74\cdot94 = 6 956$ .

Portanto só nos resta $37$ , vamos supor que ele seja $XT$ . Com esta informação chegamos a conclusão que $T$ é igual a $7$ .
Observando a igualdade $ZZZ = 37\cdot3\cdot{Z}$ podemos ver que $YT$ só pode ser $3\cdot{Z}$ . Assim, podemos listar todos os números de dois algarismos múltiplos de $3$ que terminam em $7$ : $27$ , $57$ e $87$ .
Se dividirmos todos estes números por $3$ , podemos ver qual número seria $Z$ em cada uma das hipóteses:

$27\div3 = 9$ ;
$57\div3 = 19$ ;
$87\div3 = 29$ .

Como $Z$ representa apenas $1$ algarismo, chegamos à conclusão de que ele corresponde ao número $9$ .
Podemos checar fazendo a conta: $\boxed{37\cdot27 = 999}$ .

Solução elaborada pelo COM 1uik.

Participaram da discussão os COMs: 1uik; Grupo Pitagórico.