Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Encontre todas as ternas [tex](x, y, z)[/tex] de números reais que satisfazem o sistema abaixo.
[tex]\qquad \quad \begin{cases}
x(x+y+z)=26\\
y(x+y+z)=27\\
z(x+y+z)=28\qquad \end{cases}[/tex].
Solução
Somando as três equações do sistema e colocando [tex]x+y+z[/tex] em evidência, obtemos
[tex]\qquad x(x+y+z)+y(x+y+z)+z(x+y+z)=81[/tex],
donde
[tex]\qquad (x+y+z)(x+y+z)=81[/tex],
ou ainda
[tex]\qquad (x+y+z)^2=81[/tex].
Dessa forma, [tex]x+y+z=\pm9[/tex].
- Se [tex]x+y+z=9[/tex], substituindo nas equações originais, obtemos
[tex]\qquad \begin{cases}
9x=26\\
9y=27\\
9z=28\end{cases}\quad[/tex],
e, assim,
[tex]\qquad (x,y,z)=\left(\dfrac {26}{9} \, , \, 3 \, , \, \dfrac {28}{9}\right)[/tex]. - Agora, se [tex]x+y+z=-9[/tex], obtemos
[tex]\qquad \begin{cases}
-9x=26\\
-9y=27\\
-9z=28 \end{cases}\quad[/tex],
e, então,
[tex]\qquad (x,y,z)=\left(-\dfrac {26}{9} \, , \, -3 \, , \, -\dfrac {28}{9}\right)[/tex].
Portanto, há duas ternas reais satisfazendo o sistema dado: [tex]\left(\dfrac {26}{9} \, , \, 3 \, , \, \dfrac {28}{9}\right) \, [/tex] e [tex] \, \left(-\dfrac {26}{9} \, , \, -3 \, , \, -\dfrac {28}{9}\right)[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o COM 1uik.