Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Dois coelhos, Sansão e Dalila, estão apostando corrida.
Sansão corre a uma velocidade constante e Dalila, também a uma velocidade constante, corre [tex]m[/tex] vezes mais rápido que Sansão, sendo [tex]m[/tex] um número maior do que [tex]1[/tex].
Se Dalila dá a Sansão uma vantagem de [tex]h[/tex] metros, quantos metros deve Dalila percorrer para ultrapassar Sansão?
Solução
Suponha que Sansão corra a uma velocidade [tex]v[/tex] e com isso percorre, até a ultrapassagem, [tex]x[/tex] metros em [tex]t[/tex] minutos. Portanto,
[tex]\qquad v=\dfrac{x}{t}[/tex] (em metros por minuto). [tex]\qquad \qquad (I)[/tex]
Neste caso, Dalila corre a uma velocidade [tex]mv[/tex] e ela deverá percorrer a distância [tex]x+h[/tex] (o mesmo que Sansão irá percorrer mais a vantagem que ela deu a Sansão) no mesmo intervalo de tempo, [tex]t[/tex]. Com isso temos que
[tex]\qquad mv=\dfrac{x+h}{t}.\qquad \qquad (II)[/tex]
Por [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex], temos [tex]t = \dfrac{x}{v} = \dfrac{x + h}{mv}[/tex] e daí segue que
[tex]\qquad mvx = xv + hv. \qquad \qquad (III)[/tex]
Como [tex]v \neq 0[/tex] e [tex]m \neq 1[/tex], podemos dividir a igualdade [tex](III)[/tex] por [tex]v \, [/tex] e, isolando [tex]x[/tex], ficamos com [tex]\boxed{x = \dfrac{h}{m – 1}}.[/tex]
Note que [tex]x[/tex] foi a distância que Sansão percorreu, portanto temos que somar [tex]h[/tex] metros, correspondentes à vantagem dada por Dalila. Assim, ela percorreu um total de
[tex]\qquad h + \dfrac{h}{m-1} = \dfrac{h(m-1) + h}{m-1} = \dfrac{hm}{m-1}[/tex] metros
até encontrar Sansão.
Como a velocidade dela é superior, ela o ultrapassará exatamente neste ponto, ou seja, depois de percorrer [tex]\boxed{\dfrac{hm}{m-1}}[/tex] metros.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.